Внутри окружности лежит ещё две окружности, касающиеся внешней окружности в точках $A$ и $B$ соответственно и пересекающиеся между собой. Докажите, что если одна из точек пересечения лежит на отрезке $AB$, то сумма радиусов меньших окружностей равна радиусу большей. Верно ли обратное?
Пусть $O$, $O_1$, $O_2$ — центры данных окружностей; $r$, $r_1$, $r_2$, соответственно, — их радиусы (см. рис. 1), причём $O_1$ лежит на $OA$, а $O_2$ — на $OB$. Если точка $C$ пересечения окружностей $O_1$ и $O_2$ лежит на $AB$, то равнобедренные треугольники $OAB$, $O_1AC$ и $O_2BC$ подобны друг другу (у них равны углы при основании). Отсюда, очевидно, следует, что $OO_1CO_2$ — параллелограмм, а значит, $$r=OA=OO_1+O_1A=O_2C+O_1A=r_2+r_1.$$
Верно и обратное утверждение: если $r=r_1+r_2$, то отрезок $AB$ проходит через точку пересечения окружностей $O_1$ и $O_2$. Для его доказательства построим параллелограмм $OO_1C'O_2'$, вершины $C'$ и $O_2'$ которого лежат на отрезках $AB$ и $OB$. Треугольники $O_1AC'$ и $O_2'BC'$ подобны равнобедренному треугольнику $OAB$, поэтому
$$
O_1C'=O_1A=r_1,
$$
а значит, $C'$ лежит на окружности $O_1$, и $$
O_2'B=O_2'C'=OO_1=OA-O_1A=r_2,
$$
откуда следует, что $O_2'=O_2$ и что $C'$ лежит также и на окружности $O_2$.
