Это утверждение можно доказать разными способами. Пусть $a\ge b\ge c$ — положительные числа, для которых $b+c \ge a$ (длины сторон треугольника). Будем раздвигать крайние числа $a$ и $c$ так, что та сумма сохраняется до тех пор, пока не придём к тройке, в которой большее число равно сумме остальных ($b+c=a$). Очевидно, что при этом $P=a+b+c$ и правая часть неравенства не меняется, а все попарные разности между числами и тем самым левая часть возрастают. Таким образом, достаточно доказать неравенства для тройки, в которой $a-c=b$ (рис. 1). Но в этом случае очевидно: левая часть равна $b^2+c(b-c)=b^2+bc-c^2$, а правая — $(b+c)^2=b^2+2bc+c^2$.
Рисунок номер 1
Другое, более лобовое решение. Стороны треугольника всегда можно представить в виде $x+y$, $x+z$, $y+z$, где $x\ge y\ge z$ — положительные числа (это — отрезки, на которые точки касания вписанной окружности делят стороны (рис. 2). Выразив через $x$, $y$, $z$ обе части неравенства, мы сразу придём к очевидному неравенству.
Рисунок номер 2
