Задача М1248‍‍

Заметим прежде всего, что можно исключить отрезки, целиком содержащиеся в других отрезках. Далее, занумеровав отрезки в произвольном порядке, поочерёдно проделаем с каждым такую операцию: заменим его наименьшим отрезком с той же серединой так, чтобы отрезки по-прежнему покрывали исходный. (При этом выбранные половины сокращаются, и их объединение только уменьшится.) Повторяя эти операции, придём к системе, в которой каждый отрезок может иметь общие внутренние точки (пересекаться по отрезку) не более чем с одним из остальных. Таким образом, весь исходный отрезок разбит на куски, каждый из которых покрыт содержащимися в нём одним или двумя отрезками. Поэтому достаточно доказать утверждения лишь для случая двух отрезков. Это в обоих случаях нетрудно.

Утверждение а) очевидно, если левые половины отрезков не пересекаются: ведь сумма длин двух отрезков больше длины $d$‍‍ их объединения, поэтому сумма их половин больше $\dfrac{d}{2}$‍.‍ Если же левые половины пересекаются (рис. 1), то утверждение следует из того, что середина правого отрезка лежит правее середины $C$‍‍ всего рассматриваемого куска $AB$‍,‍ т. е. эти половины покрывают $AC$‍.‍

Утверждение б) очевидно, если хотя бы один из отрезков не меньше $\dfrac23 d$‍,‍ где $d$‍‍ — покрываемый ими кусок. В другом случае (рис. 2) расстояние между их серединами $E$‍‍ и $F$‍‍ не меньше $\dfrac{d}{3}$‍,‍ а выбранные половины отрезков либо не пересекаются, либо покрывают отрезок $EF$‍.‍