Если квадрат повернуть относительно его центра на $45^\circ$, то полученный квадрат разделит стороны первоначального в некотором отношении. Возьмём произвольный выпуклый четырёхугольник, разделим его стороны в том же отношении и через точки деления проведём прямые, образующие новый четырёхугольник (рис. 1). Докажите, что площади этих четырёхугольников равны.
Отношение, в котором каждый квадрат на рисунке 1 делит стороны другого квадрата, равно $1:\sqrt2:1$. Действительно, если обозначить меньший отрезок через $x$, то больший равен $x\sqrt2$.
Рис. 1Рис. 2
Рассмотрим четырёхугольник, образованный в соответствии с условиями задачи (см. рис. 2). Как следует из подобия треугольников, его стороны параллельны диагоналям исходного четырёхугольника, т. е. этот четырёхугольник — параллелограмм, причём отношение его стороны к параллельной ей диагонали исходного четырёхугольника равно $\dfrac{1+\sqrt2}{2+\sqrt2}=\dfrac1{\sqrt2}$. Остаётся заметить, что площадь четырёхугольника равна половине произведения его диагоналей на синус угла между ними, а площадь параллелограмма равна произведению соседних сторон на синус угла между ними: если $a$ и $b$ — диагонали исходного четырёхугольника, то стороны параллелограмма будут равны $\dfrac a{\sqrt2}$ и $\dfrac b{\sqrt2}$, угол $\alpha$ между ними будет равен углу между диагоналями, поэтому площади первоначального четырёхугольника и параллелограмма обе равны $\dfrac12ab\sin\alpha$.
Любопытно рассмотреть аналогичную задачу для треугольников. При повороте правильного треугольника вокруг центра на $60^\circ$ его стороны разделят стороны исходного в отношении $1:1:1$; при делении сторон некоторого треугольника в этом отношении после проведения прямых через точки деления получается равный (симметричный) ему треугольник. Но для многоугольников с числом сторон $n\gt4$ соответствующая процедура не сохраняет площадь.
Для шестиугольников это проверяется особенно просто. (Сторону нужно делить здесь в отношении $1:\sqrt3:1$.) Рассмотрим вырожденный шестиугольник, вершинами которого являются вершины правильного треугольника и середины его сторон (рис. 3). Если стороны полученного шестиугольника разделить в отношении $1:\sqrt3:1$, то после проведения соответствующих прямых получится шестиугольник, являющийся частью исходного треугольника, т. е. заведомо имеющий меньшую площадь. Разумеется, тот же эффект будет и для невырожденного выпуклого шестиугольника, близкого к этому вырожденному. Такие же (близкие к «вырожденным») примеры $n$-угольников, для которых площадь не сохраняется, можно построить и для других $n\gt4$.
