Ответ: $\angle A=60^\circ$, $\angle B=45^\circ$, $\angle C=75^\circ$.
Воспользуемся тем, что в любом треугольнике (в обозначениях задачи) $\angle CAH=\angle BAO$ (а значит, и $\angle HAD=\angle OAD$; рис. 1). Действительно, $\angle CAH=90^\circ-\angle ACB$, $\angle BAO=90^\circ-\angle AEB$, где $E$ — второй конец диаметра, проведённого из $A$, а углы $ACB$ и $AEB$ опираются на общую дугу $AB$.
Рисунок 1
Теперь из равенства $AC=AD$ получаем, что $\angle CAH=\angle HAD$ ($AH$ — высота в треугольнике $ACD$). Следовательно, $AH$, $AD$ и $AO$ разбивают угол $A$ треугольника $ABC$ на равные части, и если $\angle CAH=\alpha$, то $$
\angle A=4\alpha,\quad\angle B=90^\circ-3\alpha,\quad\angle C=90^\circ-\alpha.
$$
Второе замечание, касающееся произвольного треугольника: если $F$ — точка, симметричная ортоцентру $H$ относительно, скажем, стороны $AB$ (рис. 2), то $\angle AFB=\angle AHB=180^\circ-\angle C$, а значит, $F$ лежит на описанной окружности.
Рисунок 2
Поскольку $AF=AH$, а $AH=AO$ (так как биссектриса угла $A$ треугольника $HAO$ по условию задачи совпадает с его высотой), угол $ACF$ опирается на хорду $AF$, равную радиусу окружности. Следовательно, $\angle ACF=30^\circ$; в то же время $\angle ACF=90^\circ-4\alpha$. Таким образом, $\alpha=\dfrac{90^\circ-30^\circ}{4}=15^\circ$, откуда и получается приведённый выше ответ.
