Задача М1213‍‍

а) Рассмотрим все параллелограммы разбиения, у которых одна из сторон параллельна некоторой стороне $a$‍‍ шестиугольника. Они образуют «поток», сечение которого любой прямой, параллельной $a$‍,‍ имеет одну и ту же суммарную ширину (рис. 1). В самом деле, к каждому параллельному $a$‍‍ отрезку, состоящему из одной или нескольких сторон параллелограммов, сверху и снизу примыкает «поток» одной и той же ширины. Поэтому вторая сторона шестиугольника, на которую выходит этот поток, будет параллельна и равна $a$‍.‍

(Попутно мы видим, что каждая сторона любого параллелограмма, входящего в разбиение, параллельна одной из сторон шестиугольника: он также включается в некоторый «поток», выходящий на границу шестиугольника.)

Аналогичное рассуждение показывает, что и четыре другие стороны шестиугольника разбиваются на две пары параллельных и равных сторон. Очевидно, параллельные стороны противоположны.

Остаётся заметить, что у выпуклого шестиугольника с параллельными и равными противоположными сторонами обязательно есть центр симметрии: три его большие диагонали, соединяющие противоположные вершины, пересекаются в одной точке — общей середине этих диагоналей.

б) Пусть теперь шестиугольник таков, что его большие диагонали параллельны сторонам. Согласно решению задачи а), они пересекаются в центре симметрии шестиугольника, поэтому они разбивают его на шесть равных по площади треугольников (рис. 2). Пусть $S$‍‍ — площадь каждого из этих треугольников и $s$‍‍ — площадь каждого из $N$‍‍ параллелограммов, на которые разбит шестиугольник, тогда $Ns=6S$‍.‍ Суммарная площадь параллелограммов каждого потока, соединяющего две противоположные стороны шестиугольника, равна $4S$‍:‍ она равна площади двух параллелограммов, заштрихованных на рисунке 2. Поэтому в поток должно входить $\dfrac{4S}{s}=\dfrac{2N}{3}$‍‍ параллелограммов. Отсюда следует, что $N$‍‍ делится на 3.