а) Ответ: не может.
Пусть число прогрессий конечно и равно $k$. Докажем, что сумма $\dfrac1{d_1}+\dfrac1{d_2}+\ldots+\dfrac1{d_k}$ равна 1. Пусть $M$ — некоторое (например, наименьшее) общее кратное чисел $d_1$, $d_2$, $\ldots$, $d_k$. Рассмотрим любой отрезок из $M$ последовательных целых чисел; в нём будет $\dfrac{M}{d_i}$ членов $i$-й прогрессии с разностью $d_i$ ($i=1$, 2, $\ldots$, $k$). Поэтому $\dfrac{M}{d_1}+\dfrac{M}{d_2}+\ldots+\dfrac{M}{d_k}=M$.
б) Ответ: может.
Приведём пример бесконечного числа прогрессий, для которых сумма $\dfrac1{d_1}+\dfrac1{d_2}+\dfrac1{d_3}+\ldots$ меньше $0{,}9$. Возьмём в качестве $d_1$, $d_2$, $d_3$, $\ldots$ числа 4, 8, 16, $\ldots$, $d_k=2^{k+1}$, $\ldots$; тогда $\dfrac14+\dfrac18+\dfrac1{16}+\ldots\le\dfrac12$. Будем строить прогрессии последовательно, по индукции. Первая прогрессия — числа, кратные 4. Для каждого $k\gt1$, считая, что первые $k-1$ уже построены, мы выберем в качестве одного из членов $k$-й прогрессии с разностью $d_k=2^{k+1}$ наименьшее по модулю целое число, не входящее в уже построенные. Поскольку $d_k$ делится на каждое $d_i$ ($i\lt k$), $k$-я прогрессия не пересекается с предыдущими. С другой стороны, прогрессии содержат все без исключения целые числа: не более чем за $2k$ шагов мы включим в прогрессии каждое целое число, не превосходящее по модулю $k-1$.
Аналогично для любого $\varepsilon\gt0$ можно построить пример, в котором $\dfrac1{d_1}+\dfrac1{d_2}+\dfrac1{d_3}+\ldots\lt\varepsilon$.
