Рассмотрим поворот $R$ вокруг центра квадрата на $90^\circ$, при котором точки $B$ и $A$ перейдут соответственно в $A$ и $D$. Покажем, что при этом повороте отрезок $KL$ перейдёт в отрезок $MN$ (см. рисунок) — тем самым задача будет решена. Поскольку $\angle KBA=90^\circ-\angle KAB=\angle KAD$ и, аналогично, $\angle KAB=\angle ADM$, луч $BK$ при этом повороте перейдёт в луч $AM$, а луч $AK$ — в $DM$. Следовательно, точка $K$ пересечения лучей $BK$ и $AK$ перейдёт в точку $M$ пересечения лучей $AM$ и $DM$, т. е. $R(K)=M$. Точно так же доказывается, что $R(L)=N$.
Рисунок
