Задача М1193‍‍‍

Докажите (для любых чисел $a$‍,‍ $b$‍,‍ $c$‍,‍ $x$‍,‍ $y$‍,‍ $z$‍)‍ неравенство $$\begin{gather*} ax+by+cz+\sqrt{(a^2+b^2+c^2)(x^2+y^2+z^2)}\ge\\ \ge\frac23(a+b+c)(x+y+z). \end{gather*}$$