Задача М1179‍‍

Ответ: а) $\dfrac{999}2$‍,‍ б) $999\cdot\dfrac{2001}{10010}$‍,‍ в) $\dfrac{16650}{167}$‍.‍

Докажем по индукции, что общие члены рассматриваемых последовательностей выражаются через номер $n$‍‍ следующими формулами: $$ \text{а) } a_n=\dfrac{n-1}2;\quad\text{б) } a_n=\dfrac{(n-1)(2n+1)}{10(n+1)};\quad\text{в) } a_n=\dfrac{n(n-1)}{10(n+2)}. $$

При $n=1$‍‍ все формулы дают $a_n=0$‍.‍ Проверим их справедливость для $a_{n+1}$‍,‍ считая их верными для $a_n$‍.‍

Случай а): $a_{n+1}=\dfrac{n}{n+1}\left(\dfrac{n-1}2+1\right)=\dfrac{n}2=\dfrac{(n+1)-1}2$‍.‍

Случай б): $a_{n+1}=\dfrac{n(n+1)}{(n+2)(n+3)}\cdot\dfrac{2n^2-n-1+10n+10}{10(n+1)}=\dfrac{n(n+3)(2n+3)}{10(n+2)(n+3)} =\dfrac{n(2n+3)}{10(n+2)}$‍.‍

Случай в): $a_{n+1}=\dfrac{n(n+1)(n+2)}{(n+3)(n+4)(n+5)}\cdot\dfrac{n^2+9n+20}{10(n+2)}=\dfrac{n(n+1)}{10(n+3)}.$‍‍
Осталось подставить $n=1000$‍‍ в формулы для $a_n$‍.‍