Задача М1177‍‍

Воспользуемся известным неравенством Бернулли — $$ (1+x)^\alpha\ge1+\alpha x\quad\text{при}\ \alpha\gt1,\ x\gt-1. $$ (Для его доказательства достаточно заметить, что функция $f(x)=(1+x)^\alpha-1-\alpha x$‍‍ имеет в точке $x=0$‍‍ минимум, так как $f'(x)=\alpha(1+x)^{\alpha-1}-\alpha\lt0$‍‍ при $-1\lt x\lt0$‍‍ и $f'(x)\gt0$‍‍ при $x\gt0$‍,‍ причём $f(0)=0$‍.)‍ В силу этого неравенства и неравенства о средних $$ \begin{gather*} (1+x_1)^{1/x_2}(1+x_2)^{1/x_3}\cdot\ldots\cdot(1+x_n)^{1/x_1}\ge\\ \ge\left(1+\dfrac{x_1}{x_2}\right)\left(1+\dfrac{x_2}{x_3}\right)\cdot\ldots\cdot\left(1+\dfrac{x_n}{x_1}\right)\ge\\ \ge2\sqrt{\dfrac{x_1}{x_2}}\cdot2\sqrt{\dfrac{x_2}{x_3}}\cdot\ldots\cdot2\sqrt{\dfrac{x_n}{x_1}}=2^n. \end{gather*} $$ Можно провести и доказательство по индукции.