$
\def\a#1{\hphantom{154}\mathllap{#1}}
\def\b#1{\hphantom{39409}\mathllap{#1}}
\def\c#1{\hphantom{197}\mathllap{#1}}
\begin{array}{c|c|c}
\\[-6pt]
a_n&4a_na_{n+1}+1&q_n\\
\\[-6pt]
\hline
\\[-6pt]
\a{1}&\b{49}&\c{7}\\
\a{12}&\b{961}&\c{31}\\
\a{20}&\b{5041}&\c{71}\\
\a{63}&\b{39409}&\c{197}\\
\a{154}&\ldots&\ldots
\end{array}$
Выписав несколько первых членов последовательности, как это сделано на полях, можно догадаться, что $1+4a_na_{n+1}=q_n^2$, где $q_n=a_{n+2}-a_{n+1}-a_n$; например, при $n=1$ и $n=2$ получаются такие равенства: $$1+4\cdot12=(20-12-1)^2,\quad1+4\cdot12\cdot20=(63-20-12)^2.$$
Воспользуемся методом индукции: докажем, что из предположения $1+4a_{n-1}a_n=q_{n-1}^2$ вытекает равенство $1+4a_na_{n+1}=q_n^2$ (при $n=2$, 3, $\ldots$). Как следует из условия задачи,
$$
q_n=a_{n+2}-a_{n+1}-a_n=a_{n+1}+a_n-a_{n-1}=q_{n-1}+2a_n.
$$
Поэтому
$$
\begin{gather*}
1+4a_{n-1}a_n=q_{n-1}^2=(q_n-2a_n)^2=q_n^2-4a_nq_n+4a_n^2=\\
=q_n^2-4a_n(a_{n+1}+a_n-a_{n-1})+4a_n^2=\\
=q_n^2+4a_na_{n-1}-4a_na_{n+1},
\end{gather*}
$$
откуда $1+4a_na_{n+1}=q_n^2$.
Из нашего решения ясно, что при любых начальных членах для последовательности с рекуррентным условием $a_{n+2}+a_n=2(a_{n+1}+a_n)$ величина $(a_{n+2}-a_{n+1}-a_n)^2-4a_na_{n+1}$ постоянна и не зависит от $n$.
