Ответ:$120^\circ$. В самом коротком доказательстве используется скалярное произведение векторов $\overrightarrow{OA}\cdot\overrightarrow{OB}$:
$$\begin{gather*}
\cos\angle{AOB}=\dfrac{\overrightarrow{OA}\cdot\overrightarrow{OB}}{OA\cdot OB}=\dfrac{xy+yz+zx}{x^2+y^2+z^2}=\\
=\dfrac12\cdot\dfrac{(x+y+z)^2}{x^2+y^2+z^2}-\dfrac12\ge-\dfrac{1}{2}=\cos120^\circ.
\end{gather*}$$
Следовательно, $\angle{AOB}\le120^\circ$, причём равенство достигается для точек $A$, лежащих в плоскости $x+y+z=0$.
Можно доказать это неравенство и геометрически, заметив, что преобразование пространства, переводящее точку $A(x, y, z)$ в $B(y,z,x)$ есть поворот на $120^\circ$ вокруг прямой $x=y=z$. Отсюда сразу следует, что угол $AOB$ не превосходит угла поворота (см. рисунок) и равен ему только когда отрезок $OA$ перпендикулярен оси поворота.
Рисунок
