Задача М1156‍‍

Докажем, что выход в финальную четвёрку гарантирован команде, набравшей 11 очков. Предположим противное: пусть некоторые 5 команд набрали не менее чем по 11 очков. В 10 играх между собой эти 5 команд набрали в сумме 20 очков, а в играх с 3 остальными — не более $2\cdot 3\cdot 5=30$‍,‍ т. е. всего они набрали не более $50\lt 5\cdot 11$‍‍ очков. Это противоречит нашему предположению.

С другой стороны, 10 очков ещё не гарантируют выход в финал. Действительно, если какие-то 5 команд все матчи между собой сыграют вничью, а у остальных 3 команд выиграют, то каждая из них наберёт по $4+6=10$‍‍ очков, но может не попасть в финальную четвёрку.

Точно так же можно доказать, что в однокруговом турнире команд наименьшее число очков, гарантирующее выход в число $k$‍‍ сильнейших из $n$‍‍ участников ($k\lt n$‍),‍ равно $2n-k-1$‍.‍