Применяя последовательно известное неравенство Коши—Буняковского
$$
x_1y_1+\ldots+x_ny_n\le\sqrt{x_1^2+\ldots+x_n^2}\sqrt{y_1^2+\ldots+y_n^2}
$$
(см. «Квант» № 8 за 1987 г., с. 42) для чисел $x_k=\sqrt{a_k(a_{k+1}+a_{k+2})}$, $y_k=\sqrt{\dfrac{a_k}{a_{k+1}+a_{k+2}}}$, где $a_{n+1}=a_1$, $a_{n+2}=a_2$, и почти очевидные неравенства $a_ia_j\le\dfrac{a_i^2+a_j^2}2$, получим
$$
\begin{gather*}
(a_1+\ldots+a_n)^2=(x_1y_1+\ldots+x_ny_n)^2\le(x_1^2+\ldots+x_n^2)(y_1^2+\ldots+y_n^2)=\\
=(a_1(a_2+a_3)+\ldots+a_n(a_1+a_2))\left(\dfrac{a_1}{a_2+a_3}+\ldots+\dfrac{a_n}{a_1+a_2}\right)=\\
=(a_1a_2+a_1a_3+\ldots+a_na_1+a_na_2)\left(\dfrac{a_1}{a_2+a_3}+\ldots+\dfrac{a_n}{a_1+a_2}\right)\le\\
\le\left(\dfrac{a_1^2+a_2^2}{2}+\dfrac{a_1^2+a_3^2}{2}+\ldots+\dfrac{a_n^2+a_1^2}{2}+\dfrac{a_n^2+a_2^2}{2}\right) \left(\dfrac{a_1}{a_2+a_3}+\ldots+\dfrac{a_n}{a_1+a_2}\right)=\\ =2(a_1^2+\ldots+a_n^2)\left(\dfrac{a_1}{a_2+a_3}+\ldots+\dfrac{a_n}{a_1+a_2}\right)
\end{gather*}
$$
Тем самым требуемое неравенство доказано. Очевидно, оно обращается в равенство только при $a_1=a_2=\ldots=a_n$.
От редакции. На одной из Всесоюзных олимпиад предлагалось доказать, что сумма, стоящая в правой части данного в условии неравенства, не меньше $\dfrac n4$ (см. задачу 128 в книге «Задачи Всесоюзных математических олимпиад», М.: Наука, 1988). Отыскание точных оценок этой суммы снизу — очень трудная задача, о которой мы постараемся рассказать в отдельной статье.
