На плоскости заданы два луча $p$, $q$ с вершинами в точках $P$ и $Q$ соответственно. Две окружности — одна с центром на луче $p$, проходящая через точку $P$, и другая с центром на луче $q$, проходящая через $Q$, — касаются друг друга в точке $M$ внешним образом. Найдите множество точек $M$.
Обозначим через $l$ и $m$ прямые, перпендикулярные лучам $p$ и $q$, проходящие через их концы ($P$ и $Q$); через $\varPi_l$ и $\varPi_m$ — соответствующие полуплоскости, заполняемые нашими окружностями с центрами на $p$ и на $q$. Очевидно, что когда одна из касающихся друг друга окружностей увеличивается, другая уменьшается так, что точка касания $M$ описывает некоторую линию, лежащую в пересечении $\varPi_l\cap\varPi_m$; её концы соответствуют крайним положениям, когда одна из окружностей выражается либо в точку ($P$ или $Q$), либо — в прямую ($l$ или $m$); концы линии не принадлежат искомому множеству. Мы докажем, что эта линия — дуга окружности, проходящей через точки $P$ и $Q$; для этого нужно лишь проверить, что величина угла $PMQ$ постоянна.
Предположим, что лучи расположены, как на рисунке 1 (искомое множество здесь — голубая дуга). Пусть $R$ — точка пересечения прямых $l$ и $m$, $t$ — общая касательная к окружностям в точке $M$, $\alpha$ и $\beta$ — углы, образуемые ею с прямыми $l$ и $m$. Тогда $\alpha+\beta=180^\circ-\angle PRQ$ и $$
\angle PMQ=\left(90^\circ-\dfrac\alpha2\right)+\left(90^\circ-\dfrac\beta2\right)=
180^\circ-\dfrac{\alpha+\beta}2=90^\circ-\dfrac{\angle PRQ}2.
$$
Обратно, через любую точку $M$ голубой дуги проходят две касающиеся в ней окружности, удовлетворяющие условию задачи (если провести через $M$ прямую, составляющую углы $\alpha=180^\circ-2\angle MPR$ и $\beta=180^\circ-\alpha-\angle PRQ$, то образуются два равнобедренных треугольника с основаниями $MP$ и $MQ$).
Аналогичное доказательство можно дать и для любого другого расположения лучей: величина $\alpha+\beta$ (и, следовательно, $\angle PMQ$) всегда выражается через угол между прямыми $l$ и $m$ (т. е. через $\angle PRQ$), поскольку углы $\alpha$ и $\beta$ между касательными ($l$ и $t$, $t$ и $m$) расположены по разные стороны от прямой $t$.
Заметим, что центр $O$ голубой дуги — это середина дуги $PQ$ окружности, проходящей через точки $P$, $Q$, $R$; например, для расположения, показанного на рисунке 1,
$$
\angle POQ=\angle POM+\angle MOQ=2(180^\circ-\angle PMQ)=180^\circ-\angle PRQ
$$
и, конечно, $OP=OQ$.
Рис. 2
Сформулируем ответ в общем виде: для этого удобно дополнить лучи $p$ и $q$ до прямых (рисунок 2; мы считаем, что прямые $l$ и $m$ пересекаются). Опишем окружность $\omega$ вокруг треугольника $PQR$ и из концов её диаметра, перпендикулярного хорде $PQ$, проведём как из центров окружности через точки $P$ и $Q$; пусть $\omega_1$ — та из них, внутри которой лежит точка $R$, а $\omega_2$ — вторая. Если $\varPi_l\cap\varPi_m$ — это угол $\angle PRQ$ или вертикальный к нему, то искомое множество есть дуга окружности $\omega_1$, заключённая внутри этого угла; если это угол, смежный $\angle PRQ$, то нужно взять заключённую внутри него дугу $\omega_2$. (Концы дуг выбрасываются.)
Другими словами, если на рисунке 2 в качестве луча $p$ взять $p_i$ ($i=1$, 2), а в качестве луча $q$ — $q_j$ ($j=1$, 2), то ответом будет голубая дуга $a_{ij}$.
Отметим, что если в условии заменить лучи на содержащие их прямые и рассматривать как внешнее, так и внутреннее касание окружностей, то искомым множеством будет объединение окружностей $\omega_1\cup\omega_2$ (без точек $P$ и $Q$).
На рисунке 3 изображён ответ для частных случаев, когда $l\parallel m$: в случае а) это — одна точка, б) — дуга окружности с диаметром $PQ$, в) — пустое множество, г) — отрезок $PQ$ (это можно получить из общего случая, приняв за $\omega_1$ прямую $PQ$, а за $\omega_2$ — окружность с диаметром $PQ$).
Рис. 3
Читатели, знакомые с инверсией, могли применить к нашей задаче это преобразование: после инверсии с центром $P$ дело сводится к нахождению множества точек касания двух параллельных прямых и двух окружностей, касающихся заданной прямой в заданной точке; это множество лежит на двух прямых, проходящих через заданную точку.
