Ответ: а) 74; б) $2S+2$.
Прямоугольник размером $m\times n$ клеток содержит $f=(m+1)(n+1)$ узлов. При данной площади $mn=S$ величина
$$
f=S+m+n+1=S+m+\dfrac Sm+1
$$
принимает наибольшее значение $2S+2$ при $m=1$ или $m=S$ (для прямоугольника размером $1\times S$). При других $m$ ($1\lt m\lt S$) величина $f$ меньше $2S+2$. Это следует из неравенства $m+\dfrac Sm\lt S+1$, которое эквивалентно очевидному неравенству $(m-S)(m-1)\lt0$. Заметим, что верно более общее утверждение: при заданном $S$ ($S$ — целое или полуцелое число) из всех многоугольников с вершинами в узлах клетчатой бумаги самое большое число узлов содержит многоугольник, не имеющий внутренних узлов. Это следует из формулы Пика для площади $S$ таких многоугольников: $S=i+\dfrac r2-1$, где $i$ — число узлов, лежащих внутри многоугольника, а $r$ — число узлов на его границе: общее число узлов равно $i+r\le 2i+r=2S+2$. (Неравенство превращается в равенство только при $i=0$.)
