Пусть $ABCDEF$ — данный шестиугольник, $M_1$, $M_2$, $\ldots$, $M_6$ — середины его сторон (см. рисунок). Отрезки $M_1M_4$ и $M_2M_5$ делят площадь шестиугольника пополам, поэтому четырёхугольники $PM_1BM_2$ и $PM_4EM_5$, где $P$ — точка пересечения $M_1M_4$ и $M_2M_5$, равновелики (каждый из этих четырёхугольников в сумме с пятиугольником $PM_2CDM_4$ даёт половину площади шестиугольника). Площади четырёхугольников $PABC$ и $PDEF$ вдвое больше, соответственно, площадей четырёхугольников $PM_1BM_2$ и $PM_4EM_5$, и поэтому они также равны между собой (мы пользуемся тем, что медиана треугольника делит его площадь пополам). Отсюда следует, что ломаная $M_3PM_6$ делит площадь шестиугольника пополам, как и отрезок $M_3M_6$. А это значит, что точка $P$ лежит на отрезке $M_3M_6$, что и требовалось доказать.
Рисунок
