В тетраэдре $ABCD$ грани $ABC$ и $BCD$ перпендикулярны, $\angle BAC=90^\circ$. Докажите, что из отрезков, длины которых равны произведениям длин противоположных рёбер тетраэдра, можно составить прямоугольный треугольник.
Докажем, что $$
(DA\cdot BC)^2=(DB\cdot CA)^2+(DC\cdot AB)^2.
$$
Это равенство эквивалентно аналогичному равенству для проекции $D_1$ точки $D$ на плоскость $ABC$ (рис. 1):
$$
D_1A^2\cdot BC^2=D_1B^2\cdot CA^2+D_1C^2\cdot AB^2.\tag{*}
$$
В самом деле, вычитая из первого равенства второе, по теореме Пифагора для треугольников $DD_1A$, $DD_1B$ и $DD_1C$ получим
$$
D_1D^2\cdot BC^2=D_1D^2\cdot CA^2+D_1D^2\cdot AB^2,
$$
а это равенство всегда верно, так как в треугольнике $ABC$ угол $A$ прямой.
Рис. 1Рис. 2
Доказательство равенства (*) можно провести так. Опишем окружность около треугольника $ABC$ и обозначим через $E$ точку её пересечения с прямой $AD_1$ (отличную от точки $A$; см. рис. 2). Треугольники $D_1BE$ и $D_1AC$ подобны ($\angle ED_1B=\angle CD_1A$, $\angle BED_1=\angle ACD_1$), поэтому $BE:BD_1=CA:AD_1$, или $$
CA^2\cdot BD_1^2=BE^2\cdot AD_1^2;
$$
аналогично,
$$
AB^2\cdot CD_1^2=CE^2\cdot AD_1^2.
$$
Следовательно, поскольку $\triangle BEC$ прямоугольный,
$$
CA^2\cdot BD_1^2+AB^2\cdot CD_1^2=(BE^2+CE^2)\cdot AD_1^2=BC^2\cdot AD_1^2,
$$
что и требовалось доказать.
Отметим, что равенство (*) — это, по сути дела, частный случай так называемой «формулы Стюарта» для длины отрезка $AD_1$ (рис. 2) в произвольном треугольнике $ABC$:
$$
AD_1^2=p\cdot AB^2+q\cdot AC^2-pq\cdot BC^2,
$$
где $p=\dfrac{CD_1}{BC}$, $q=\dfrac{BD_1}{BC}$.
Читателям, знакомым с преобразованием инверсии, укажем на связь нашей задачи с этим преобразованием: если $A_1$, $B_1$ и $C_1$ — образы точек $A$, $B$, $C$ при некоторой инверсии с центром $D$ (т. е. точки $A_1$, $B_1$, $C_1$ лежат, соответственно, на лучах $DA$, $DB$, $DC$ и $DA_1\cdot DA=DB_1\cdot DB=DC_1\cdot DC$), то стороны треугольника $A_1B_1C_1$ пропорциональны произведениям противоположных рёбер тетраэдра $ABCD$, причём этот треугольник — прямоугольный. (По основному свойству инверсии описанная около треугольника $ABC$ окружность переходит при инверсии в окружность, описанную около треугольника $A_1B_1C_1$; легко видеть, что в нашей задаче сторона $B_1C_1$ будет диаметром второй окружности.)
