На боковых сторонах $AB$ и $AC$ равнобедренного треугольника $ABC$ нашлись такие точки $D$ и $E$ соответственно, что $AD=BC=EC$ и треугольник $ADE$ равнобедренный. Каким может быть угол при вершине $A$?
Ответ. Возможны три случая: 1) если $AD=AE$, то $\angle A=2\arctg\dfrac14$; 2) если $AE=DE$, то $\angle A=36^\circ$; 3) если $AD=DE$, то $\angle A=20^\circ$.
Рассмотрим эти случаи по отдельности. Положим $\angle A=\alpha$.
Случай 1) (рис. 1). Поскольку $AD=AE=EC=BC$, боковая сторона равнобедренного треугольника $ABC$ вдвое больше основания. Очевидно, $\tg\dfrac\alpha2=\dfrac{BC}{2AC}=\dfrac14.$
Случай 2) (рис. 2). Поскольку $BD=AB-AD=AC-EC=AE=ED$ и $BC=EC$, треугольники $BCD$ и $ECD$ равны (по трём сторонам). Угол $DEC$ является внешним в равнобедренном треугольнике $ADE$, следовательно
$$\angle ACB=\angle ABC=\angle DEC=2\alpha,$$
а сумма углов треугольника $ABC$ равна $\alpha+2\alpha+2\alpha=5\alpha=180^\circ$, т. е. $\alpha=36^\circ$.
Случай 3) (рис. 3). Достроим треугольник $BDE$ до параллелограмма $BDEF$ и покажем, что $\triangle BCF$ — равносторонний. Из очевидных равенств $\angle CEF=\angle CAB=\alpha$, $CE=AD=DE$ и $EF=BD=AB-AD=AC-EC=AE$ следует, что $\triangle CEF=\triangle DAE$, $\triangle CEF$ — равнобедренный треугольник, причём $CF=CE=CB$, $\angle CFE=\angle CEF=\alpha$. Кроме того, $BF=DE=CB$, а $\angle CBF=\angle BDE=2\alpha$, так как $BDEF$ — параллелограмм, а $BDE$ — внешний угол треугольника $ADE$. Итак, $BF=FC=CB$ и $\angle BFC=60^\circ=\angle BFE+\angle EFC=2\alpha+\alpha=3\alpha$. Отсюда получаем, что $\alpha=20^\circ$.
В конце этого рассуждения, записывая равенство $\angle BFC=\angle BFE+\angle EFC$, мы неявно воспользовались тем, что треугольники $ABC$ и $FBC$ лежат по разные стороны от $BC$ и луч $FE$ проходит внутри угла $BFC$.
Но если бы точка $F$ оказалась над основанием $BC$, то точно так же мы имели бы равенство
$$3\alpha=\angle BFE+\angle EFC=360^\circ-\angle BFC=300^\circ,$$
откуда $\alpha=100^\circ$, что невозможно, так как $\alpha$ — угол при основании равнобедренного треугольника $DEA$. (Впрочем, и этот случай можно включить в рассмотрение, если разрешить точкам $D$ и $E$ находиться на продолжениях соответствующих сторон треугольника; рис. 4.)
