Диаметр $d$ окружности разбит на $k$ равных частей, и через каждую точку деления проведена хорда, перпендикулярная диаметру. Докажите, что сумма длин всех хорд не меньше $0{,}5kd$ и меньше $0{,}8kd$.
Пусть $a_1$, $a_2$, $\ldots$, $a_{k-1}$ — хорды, перпендикулярные диаметру $AC=d$ и делящие его на $k$ равных частей. Выпуклый $2k$-угольник с вершинами в концах этих хорд и диаметра (на рисунке 1 — голубой) состоит из треугольников и $k-2$ трапеций с одинаковыми высотами $\dfrac dk$ и основаниями $a_1$, $a_2$, $\ldots$, $a_{k-1}$; его площадь равна
$$
S=\dfrac dk\left(\dfrac{a_1}2+\dfrac{a_1+a_2}2+\ldots+\dfrac{a_{k-1}+a_k}2+\dfrac{a_k}2\right)=
\dfrac{d(a_1+a_2+\ldots+a_k)}k.
$$
Таким образом, интересующая нас сумма длин хорд равна $\dfrac{Sk}d$. Поскольку голубой треугольник лежит в круге диаметром $d$, его площадь меньше $\dfrac{\pi d^2}4$, откуда получаем оценку сверху: $\dfrac{Sk}d\lt \dfrac{\pi d}4\lt0{,}8kd$. С другой стороны, площадь голубого многоугольника не меньше площади красного квадрата $ABCD$; отсюда получается оценка снизу: $\dfrac{Sk}d\ge0{,}5kd$. Правда, при нечётном $k=2m+1\ge3$ красный квадрат двумя уголками при вершинах $B$ и $D$ слегка вылезает за пределы голубого многоугольника, но эти уголки оценку не портят. Например, можно показать, что красный треугольник на рисунке 2 меньше подобного ему зелёного: поскольку
$$
OQ=\dfrac d{2(2m+1)}\quad\text{и}\quad PQ=\sqrt{QA\cdot QC}=\dfrac{d\sqrt{m(m+1)}}{2m+1},
$$
получаем, что катет красного треугольника
$$
\begin{gather*}
BO-PQ=\dfrac d2\left(1-\dfrac{2\sqrt{m(m+1)}}{2m+1}\right)=\dfrac{d(2m+1-2\sqrt{m(m+1)})}{2(2m+1)}=\\
=\dfrac{OQ}{2m+1+2\sqrt{m(m+1)}}\le\dfrac{OQ}{3+2\sqrt2}\lt\dfrac{OQ}2.
\end{gather*}
$$
Заметим, что при больших $k$ сумма длин хорд, как ясно из решения, почти равна $\dfrac{\pi dk}4$ (предел отношения этой суммы к $k$ равен $\dfrac{\pi d}4\Big)$. Те, кто знаком с понятиями интеграла и интегральной суммы, несомненно, увидят в сюжете нашего решения вычисление интеграла от функции $f(x)=\sqrt{x^2-d^2}$ на отрезке $-d\le x\le d$ с помощью интегральных сумм (точнее, «методом трапеций»).
