Задача М1093‍‍

Ответ в задаче a): $n-k+1.$‍‍

а), б) Разобьём точки на «серии», каждая из которых начинается с двойки и включает все идущие следом (по часовой стрелке) единицы. Если серия начинается в точке $A_1$‍,‍ заканчивается перед точкой $A_2$‍‍ (где стоит двойка или ноль — на рисунке 1 это обозначено звёздочкой) и включает $m \ge 0$‍‍ единиц, то через $m+1$‍‍ шагов в $m$‍‍ точках, следующих за $A_1$‍,‍ будут стоять $m$‍‍ нулей, а в точке $A_2$‍‍ — единица. На рисунках 2, а, б, в изображена эволюция одной серии для $m=0$‍,‍ $m=1$‍‍ и $m=4$‍‍ ($\emptyset$‍‍ означает 0 или 1). Такая эволюция происходит одновременно со всеми сериями. Таким образом, если вначале было $k$‍‍ двоек в точках $A_1$‍,‍ $A_2$‍,‍ $\ldots$‍,‍ $A_k$‍,‍ и самая длинная серия содержала $m \le n-k$‍‍ единиц, то ровно через $m+1$‍‍ преобразований не останется ни одной двойки. Если при этом в остальных $n-k$‍‍ точках стояли единицы, то после всех преобразований на их местах будут стоять нули, а в $k$‍‍ точках $A_1$‍,‍ $A_2$‍,‍ $\ldots$‍,‍ $A_k$‍,‍ — единицы.