Вырезанный из бумаги выпуклый многоугольник·10 раз складывают (перегибая по некоторым прямым) и затем разрезают по прямой. Какое наибольшее число кусков может получиться?
Ответ: 1025. Решим задачу сразу в общем случае для $n$ сгибов. Проведём внутри многоугольника произвольный отрезок $AB$ и отметим на нём точки $C_1$, $C_2$, $\ldots$, $C_{n+1}$, такие, что $C_kB=2^{-k}\cdot AB$ (см. рисунок). Через каждую из точек $C_k$, проведём прямую $l_k$, перпендикулярно к $AB$. Последовательно перегнём многоугольник по прямым $l_1$, $l_2$, $\ldots$, $l_n$ слева направо $n$ раз (мы считаем, что первоначально точка $A$ лежит левее $B$) и разрежем его по прямой $l_{n+1}$. Отрезок $AB$ сложится в отрезок $C_nB$, нa котором сложенная фигура имеет $2^n$ слоёв. Слева от разреза каждый слой соединён с другим слоем через перегиб $l_n$, поэтому слева мы получим $2^{n-1}$ кусков. Справа от разреза слои также попарно соединены, за исключением двух одиночных нижних слоёв — краёв исходной фигуры. Поэтому справа получится $2^{n-1}+1$ кусков, а всего получится $2^n+1$ кусков.
Покажем индукцией по числу перегибов $n$, что число кусков не может быть больше $2^n+1$. При $n=0$ это утверждение очевидно. Пусть оно верно для $n$ перегибов. Перегнём многоугольник $n+1$ раз. После первого перегиба получатся два соединённых между собой частично перекрывающихся многоугольных слоя. В дальнейшем каждый из этих слоёв можно рассматривать отдельно: он будет перегнут $n$ раз и разрезан, что по предположению индукции даст $2^n+1$ кусков. Поскольку хотя бы два куска из разных слоёв должны быть соединены через первый перегиб, общее число кусков не превосходит $2(2^n+1)-1=2^{n-1}+1$.
Таким образом, максимальное число кусков равно $2^n+1$; в частности, при $n=10$ получится $2^{10}+1=1025$ кусков.
