Задача М1085‍‍‍

a) Ответ: нет. Допустим, что требуемое расположение (рис. 1, а) существует. Ясно, что прямую 1 можно опустить в вертикальной плоскости, не задевая прямую 3, так, чтобы она пересекла прямые 2 и 4, затем аналогично опустить прямую 3 так, чтобы она пересекла прямые 1 и 4 и, наконец, повернуть прямую 2 в вертикальной плоскости вокруг точки её пересечения с прямой 1 так, чтобы она пересекла прямую 3. При этом прямая 2 по-прежнему будет проходить под прямой 4 (рис. 2). Но в то же время прямые 2 и 4 должны пересекаться, так как каждая из них пересекает прямые 1 и 3, и следовательно, все четыре прямые должны лежать в одной плоскости. Противоречие.

б) Ответ: нет. Снова допустим, что рассматриваемая конфигурация возможна. Обозначим прямые через $a$‍,‍ $b$‍,‍ $c$‍,‍ $l_1$‍,‍ $l_2$‍‍ и $l_3$‍‍ (см. рис. 1, б). Передвигая их в вертикальных плоскостях, как в пункте а), мы можем добиться, чтобы каждая из прямых $a$‍,‍ $b$‍,‍ $c$‍‍ пересекала каждую из прямых $l_1$‍,‍ $l_2$‍,‍ а $l_3$‍‍ пересекалась с $a$‍‍ и $b$‍‍ (рис. 3). Пусть $A_1$‍,‍ $A_2$‍,‍ $\ldots$‍,‍ $C_2$‍‍ — точки пересечения прямых $a$‍‍ и $l_1$‍,‍ $a$‍‍ и $l_2$‍,‍ $\ldots$‍,‍ $c$‍‍ и $l_2$‍;‍ теми же буквами обозначаются и изображения этих точек на нашей картинке. Спроектируем всю конфигурацию на вертикальную плоскость $\lambda$‍,‍ содержащую прямую $l_3$‍,‍ вдоль прямой $c$‍‍ (рис. 4). Прямая $c$‍‍ при этом проектируется в точку $C$‍.‍ Докажем, что эта точка лежит на прямой $l_3$‍‍ — это бы означало, что $c$‍‍ и $l_3$‍‍ пересекаются, и противоречило предположению. Вертикальные плоскости, содержащие прямые $a$‍,‍ $b$‍‍ и $c$‍,‍ параллельны (так как $a\parallel b\parallel c$‍‍ на рисунках 1, б и 3), поэтому и проекции $a$‍‍ и $b$‍‍ вдоль $c$‍‍ параллельны. Кроме того, на рисунке 3 $A_1A_2:A_2A_3=B_1B_2:B_2B_3$‍,‍ следовательно, это верно и для самой конфигурации, а значит, и для рисунка 4 (при параллельной проекции отношения длин параллельных отрезков сохраняются). Отсюда очевидно следует, что на рисунке 4 прямая $A_3B_3$‍‍ проходит через точку $C$‍,‍ что и требовалось доказать.