Задача М1083‍‍

a), б) Положим $\dfrac{a_1+a_2+\ldots+a_n}n=m$‍,‍ тогда $$ \dfrac{a_1^2+a_2^2+\ldots+a_n^2}n-m^2\le am-m^2=\dfrac{a^2}4-\left(\dfrac a2-m\right)^2\le\dfrac{a^2}4, $$ поскольку $a_i^2\le a\cdot a_i$‍‍ ($i=1$‍,‍ 2, $\ldots$‍,‍ $n$‍).‍ Тем самым доказано неравенство а).

Равенство в нём достигается тогда и только тогда, когда, во-первых, $a_i^2=a\cdot a_i$‍,‍ т. е. при каждом $i$‍‍ либо $a_i=0$‍,‍ либо $a_i=a$‍,‍ и, во-вторых, $m=\dfrac a2$‍.‍ А это возможно только в двух случаях: 1) все $a_i$‍‍ равны 0; 2) $n$‍‍ чётно и $\dfrac n2$‍‍ чисел $a_i$‍‍ равны 0, а остальные $\dfrac n2$‍‍ равны $a$‍‍ ($a\gt0$‍).‍

Таким же способом можно доказать следующее — более общее — неравенство: $$ p_1a_1^\alpha+p_2a_2^\alpha+\ldots+p_na_n^\alpha\le (p_1a_1+\ldots+p_na_n)^\alpha+(\alpha-1)\alpha^{\frac{\scriptstyle\alpha}{\scriptstyle1-\alpha}}a^\alpha $$ при $p_i\ge0$‍‍ ($i=1$‍,‍ $\ldots$‍,‍ $n$‍),‍ $p_1+p_2+\ldots+p_n=1$‍,‍ $\alpha\gt1$‍,‍ $0\le a_i\le a$‍.‍