Задача М1081‍‍

Будем считать, что у однозначного числа «предпоследняя цифра» равна 0.

Если число $N$‍‍ кончается цифрами $ab$‍,‍ то, очевидно, две последние цифры числа $3N$‍‍ совпадают с двумя последними цифрами числа $3(10a+b)=30a+3b$‍.‍ Поэтому при чётном $a$‍‍ предпоследние цифры чисел $3N$‍‍ и $3b$‍‍ будут одной и той же чётности. Выпишем несколько первых степеней 3: $$ 3^1=3,\quad3^2=9,\quad3^3=27,\quad3^4=81. $$

Их последние цифры — 3, 9, 7, 1; дальше они будут периодически повторяться. Предпоследние цифры чисел $3\cdot3=9$‍.‍ $3\cdot9=27$‍,‍ $3\cdot7=21$‍,‍ $3\cdot1=3$‍‍ — чётные, следовательно, если утверждение задачи справедливо для $3^n$‍,‍ то оно справедливо и для $3^{n+1}$‍.‍ А так как оно верно для $3^3=27$‍,‍ по индукции заключаем, что оно верно и для всех натуральных $n\gt2$‍.‍