Тетраэдр пересечён тремя плоскостями, каждая из которых параллельна двум его противоположным рёбрам и одинаково удалена от них. Докажите, что сумма квадратов площадей этих трёх сечений в 4 раза меньше суммы квадратов площадей граней тетраэдра.
Мы рассмотрим несколько ортогональных проекций тетраэдра и воспользуемся тем, что проекции треугольника вдоль стороны или вдоль медианы и проекции параллелограмма вдоль стороны или диагонали есть отрезки, длины которых выражаются через площадь соответствующей фигуры и длину стороны, медианы или диагонали (рис. 1).
Рис. 1Рис. 2
Пусть дан тетраэдр $ABCD$ (рис. 2). Каждая из секущих плоскостей проходит через середины четырёх его рёбер и, следовательно, пересекает его по параллелограмму, ограниченному средними линиями граней. Площади сечений, параллельных соответственно рёбрам $DA$, $DB$, $DC$, обозначим через $s_a$, $s_b$, $s_c$, площади граней $ABC$, $BCD$, $CDA$, $DAB$ — через $S_D$, $S_A$, $S_B$, $S_C$. Спроектируем тетраэдр вдоль ребра $CD$ (рис. 3). Получится треугольник $ABC$ (мы сохраняем за проекциями точек те же обозначения, что и за самими точками). Проведём в нём среднюю линию $KL$, параллельную $AB$ (это проекция сечения $s_c$), и медиану $CM$ (это проекция треугольного сечения $CDM$ нашего тетраэдра; $M$ — середина ребра $AB$). В параллелограмме $CLMK$ (рис. 3) стороны и диагонали равны
$$
CL=KM=\dfrac{CB}2=\dfrac{S_A}l,\quad
CK=LM=\dfrac{CA}2=\dfrac{S_B}l,\quad
KL=\dfrac{2s_c}l,\quad CM=\dfrac{2S_1}l,
$$
где $l=CD$, $S_1$ — площадь $\triangle CDM$. Записывая для $CLMK$ «равенство параллелограмма» (сумма квадратов диагоналей равна сумме квадратов сторон), получим
$$2(S_A^2+S_B^2)=4s_c^2+4S_1^2.\tag1$$
Рис. 3Рис. 4
Аналогично доказывается равенство
$$2(S_C^2+S_D^2)=4s_c^2+4S_2^2,\tag2$$
где $S_2$ — площадь треугольного сечения $ABN$, проходящего через середину $N$ ребра $CD$. Наконец, ортогонально спроектируем тетраэдр вдоль его «средней линии» $MN$ (рис. 4). Получится параллелограмм $ACBD$ (диагонали $AB$ и $CD$, пересекаясь, делятся пополам). Диагонали этого параллелограмма — это проекции треугольных сечений $S_1$ и $S_2$, т. е. $AB=\dfrac{2S_2}m$, $CD=\dfrac{2S_1}m$, где $m=MN$, а средние линии — проекции сечений $s_a$ и $s_b$, поскольку стороны равны средним линиям, $AD=\dfrac{2s_a}m$, $AC=\dfrac{2s_b}m$. Ещё раз используем «равенство параллелограмма»:
$$2(4s_a^2+4s_b^2)=4S_1^2+4S_2^2.\tag3$$
Из (1), (2) и (3) следует утверждение задачи:
$$S_A^2+S_B^2+S_C^2+S_D^2=4(s_a^2+s_b^2+s_c^2).$$
Отметим, что эта задача в другой формулировке появилась в недавно изданном очень содержательном задачнике «Зарубежные математические олимпиады» (М., 1987, с. 49, задача 15.17).
