Задача М1066‍‍

Соединим попарно все точки отрезками и окрасим синим цветом отрезки длины 1 и красным — отрезки длины меньше 1. Тогда хотя бы один из треугольников, образованных этими отрезками (быть может, вырожденный), окажется одноцветным. Это утверждение, справедливое при любой раскраске отрезков в 2 цвета, в разных вариантах можно встретить во многих сборниках олимпиадных задач. Для его доказательства рассмотрим 5 отрезков, выходящих из какой-то одной данной точки $P$‍.‍ Среди них найдутся 3 одноцветных, например синих — $PA$‍,‍ $PB$‍‍ и $PC$‍.‍ Если треугольник $ABC$‍‍ красный, то всё в порядке. Если нет, то у него есть синяя сторона, но тогда её концы вместе с точкой $P$‍‍ являются вершинами синего треугольника.

Итак, пусть $ABC$‍‍ — одноцветный треугольник. Если его стороны меньше 1 (т. е. красные), то $A$‍,‍ $B$‍,‍ $C$‍‍ — искомые точки. Пусть он синий, т. е. правильный треугольник со стороной 1. Тогда остальные три точки $D$‍,‍ $E$‍,‍ $F$‍‍ лежат в криволинейном треугольнике, являющимся пересечением трёх единичных кругов с центрами $A$‍,‍ $B$‍‍ и $C$‍.‍ Эта фигура называется треугольником Рело. Очевидно, что она имеет постоянную ширину 1, т. е. её проекция на любую прямую есть отрезок длины 1 (см. рисунок). При этом расстояние между двумя точками треугольника Рело может равняться 1 только в том случае, когда одна из них совпадает с вершиной. А поскольку точки $D$‍,‍ $E$‍,‍ $F$‍‍ отличны от $A$‍,‍ $B$‍,‍ $C$‍,‍ попарные расстояния между ними меньше 1.