На сторонах $AB$ и $AC$ треугольника $ABC$ взяты точки $E$ и $D$. Прямые $BD$ и $CE$
пересекаются в точке $M$, $AM$ и $BC$ — в точке $P$, $AM$ и $DE$ — в точке $N$. Докажите, что $$
\dfrac{PN}{NA}=2\cdot\dfrac{PM}{MA}.
$$
На рёбрах $SA$, $SB$ и $SC$ тетраэдра $SABC$ взяты точки $D$, $E$ и $F$.
Плоскости $ABF$, $BCD$ и $CAE$ пересекаются в точке $M$, прямая $SM$ пересекает плоскости $ABC$
и $DEF$ в точках $P$ и $N$. Докажите, что $$
\dfrac{PN}{NS}=3\cdot\dfrac{PM}{MS}.
$$
а) Пусть сначала $DE\parallel BC$ (рис. 1). Положим $AN=x$, $NM=y$, $MP=z$, тогда
$$
\frac{PN}{NA}:\frac{PM}{MA}=\frac{z+y}x\cdot\frac{x+y}z=
\frac{xz+y(x+y+z)}{xz}=1+\frac yz\cdot\frac{x+y+z}x=2,\tag{*}
$$
поскольку из гомотетичности треугольников $MBC$ и $MDE$, $ABC$ и $ADE$ следует, что $$
\frac yz=\frac{MN}{MP}=\frac{DE}{BC}=\frac{AN}{AP}=\frac{x}{x+y+z}.
$$
Рис. 1Рис. 2
Общий случай сводится к рассмотренному частному с помощью центральной проекции. Предположим, что прямые $DE$ и $BC$ пересекаются в точке $K$. Проведём через $AP$ произвольную плоскость $\alpha$, не совпадающую с $ABC$, и выберем точку $O$ так, чтобы прямая $OK$ была параллельна $\alpha$ (рис. 2). При центральной проекции из центра $O$ на плоскость $\alpha$ все точки прямой $AP$ проектируются сами на себя (и отношения $\dfrac{PN}{NA}$ и $\dfrac{PM}{MA}$ сохраняются), а прямые $DE$ и $BC$, очевидно, проектируются в параллельные — как говорят, точка $K$ «уходит на бесконечность». В результате из произвольной конфигурации, удовлетворяющей условию задачи, получается рисунок 1. Эта задача относится к проективной геометрии, в которой изучаются свойства фигур, сохраняющиеся при центральных проекциях. Пример понятия из этой области геометрии — двойное отношение произвольных четырёх точек $P$, $A$, $N$, $M$ одной прямой, равное, по определению, величине в левой части (*). Попробуйте доказать, что оно действительно не меняется при центральных проекциях.
Можно решать задачу и с помощью центра масс (о применении этого понятия в геометрии см. статью В. Г. Болтянского и М. Б. Балка «Центр тяжести облегчает решение» в «Кванте» № 4 за 1984 г.). Поместим в вершину $A$ некоторую массу $m$, а в вершины $B$ и $C$ — такие массы $m_b$, и $m_c$, чтобы центр всех трёх масс попал в точку $M$. Для этого надо взять $m_b=\dfrac{AE}{BE}m$, $m_c=\dfrac{AD}{BD}m$. (Действительно, центр масс $m_b$ и $m_c$, — это точка $E$, поэтому общий центр лежит на отрезке $CE$; аналогично показывается, что он лежит и на $BD$.) Центр масс $m_b$ и $m_c$ лежит на пересечении $AM$ и $BC$, т. е. в точке $P$, причём $\dfrac{PM}{MA}=m(m_b+m_c)$ (рис. 3, а). Теперь добавим в точку $A$ ещё одну массу $m$. Общий центр масс сместится из $M$ в некоторую точку отрезка $MA$. В то же время, группируя одну массу $m$ с $m_c$, а другую — с $m_b$ (рис. 3, б), находим, что он должен лежать на $DE$, т. е. в точке $N$. Наконец, группируя $m_c$ и $m_b$, получаем, что $\dfrac{PN}{NA}=2m(m_b+m_c)=2\dfrac{PM}{MA}$.
Рис. 3
б) Эта задача тоже проективная, и её можно было бы решать аналогично предыдущей — свести к случаю $DEF \parallel ABC$. Но обосновать такое решение в рамках элементарной геометрии трудно. Приведём векторное решение (рис. 4).
Рис. 4
Для любой точки $X$ обозначим вектор $\overline{SX}$ через $\overline{X}$. Пусть $\overline{P}=m\overline{M}=n\overline{N}$, $\overline{A}=\alpha\overline{D}$, $\overline{B}=\beta\overline{E}$, $\overline{C}=\gamma\overline{F}$ (т. е. $m=SP:SM$, $n=SP:SN$ и т. д.). Разложим вектор $\overline{P}$ по некомпланарным векторам $\overline{A}$, $\overline{B}$, $\overline{C}$:
$$
\overline{P}=x\overline{A}+y\overline{B}+z\overline{C}.\tag1
$$
Тогда
$$
x+y+z=1.\tag2
$$
Действительно, вектор $\overline{AP}$ лежит в плоскости ABC, поэтому при некоторых $y_1$ и $z_1$ $\overline{AP}=y_1\overline{AB}+z_1\overline{AC}=y_1(\overline{B}-\overline{A}+z_1(\overline{C}-\overline{A})$, значит, $\overline{P}=\overline{A}+\overline{AP}=(1-y_1-z_1)\overline{A}+y_1\overline{B}+z_1\overline{C}$. А так как коэффициенты в (1) определяются однозначно, $y_1=y$, $z_1=z$, $x=1-y-z$. Таким образом, равенство (2) — это необходимое (а также и достаточное) условие того, что точка $P$ лежит в плоскости $ABC$.
Запишем это условие для точки N в плоскости $DEF$ и для точки $M$, которая лежит в трёх плоскостях — $ABF$, $BCD$ и $CAE$. Из разложения $n\overline{N}=\overline{P}=x\alpha\overline{D}+y\beta\overline{E}+z\gamma\overline{F}$ получаем, что $\dfrac{x\alpha}n+\dfrac{y\beta}n+\dfrac{z\gamma}n=1$, т. е.
$$
x\alpha+y\beta+z\gamma=n;\tag3
$$
из разложения $m\overline{M}=\overline{P}=x\overline{A}+y\overline{B}+z\gamma\overline{F}$ — что $$
x+y+z\gamma=m.
$$
И, аналогично, — ещё два равенства:
$$
\begin{aligned}
\alpha x+y+z&=m,\\
x+\beta y+z&=m.
\end{aligned}
$$
Складывая три последних равенства и учитывая (2) и (3), находим, что $$
n+2=3m.
$$
Остаётся выразить отношения отрезков в условии задачи через $m$ и $n$:
$$
\frac{PN}{NS}:\frac{PM}{MS}=\frac{PS-NS}{NS}:\frac{PS-MS}{MS}=\frac{n-1}{m-1}=\frac{3m-3}{m-1}=3.
$$
Задачу б) можно решать и с помощью центра масс, как задачу а).
