Задача М1059‍‍

а) Покажем сначала, что $f(0)=0$‍.‍ Пусть $f(0)=a$‍,‍ т. е. график функции $f$‍‍ содержит точку $(0; a)$‍.‍ После двух поворотов на угол $\pi/2$‍‍ вокруг начала координат эта точка перейдёт в точку $(0; -a)$‍‍ (рис. 1), а поскольку она тоже должна лежать на графике, $a=-a=0$‍.‍

Рис. 1.

Допустим теперь, что уравнение $f(x)=x$‍‍ имеет ещё одно решение $x=b$‍‍ ($b \ne 0$‍),‍ т. е. график проходит через точку $(b; b)$‍.‍ Тогда он проходит и через точку $(b; -b)$‍,‍ получаемую из $(b; b)$‍‍ тремя поворотами на $\pi/2$‍‍ (рис. 1). Но это невозможно.

Итак, уравнение $f(x)=x$‍‍ всегда имеет единственное решение $x=0$‍.‍

б) Искомую функцию можно определить так: $$ f(x)=\left\{\begin{array}{ll} 0 & \text{при } x=0,\\[4pt] -\dfrac{x}{2} & \text{при } 4^k \le |x| \lt 2 \cdot 4^k,\\[4pt] 2x & \text{при } 2 \cdot 4^{k-1} \le |x| \lt 4^k, \end{array}\right. $$ где $k$‍‍ — произвольное целое число (график на рисунке 2).

Рис. 2.

Имеются и другие функции, удовлетворяющие условию; см., например, рисунок 3. Эту функцию на олимпиаде предложил К. Апситис (10 кл., ФМШ № 1, Рига); интересно, что её можно задать при $x \ne 0$‍‍ одной формулой $$ f(x)=\dfrac{x}{|x|}-x\cdot(-1)^{[-|x|]}, $$ где $[x]$‍‍ — целая часть $x$‍.‍

Рис. 3.