Если центры сфер лежат в одной плоскости, то и все точки их попарного касания лежат в этой плоскости. Пусть центры не лежат в одной плоскости. Обозначим сферы через $S_1$, $S_2$, $S_3$, $S_4$, точку касания сфер $S_i$ и $S_j$ — через $A_{ij}$, а их общую касательную плоскость, проведённую через $A_{ij}$, — через $\alpha_{ij}$ ($1\le i\lt j\le4$). Достаточно доказать, что точка $O$, в которой пересекаются три из этих плоскостей, касающиеся сферы $S_4$: $\alpha_{14}$, $\alpha_{24}$ и $\alpha_{34}$, — лежит и на трёх других плоскостях (существование точки $O$ вытекает из того, что центры данных сфер не лежат в одной плоскости). Действительно, в таком случае каждый отрезок $OA_{ij}$ лежит в плоскости $\alpha_{ij}$, т. е. касается сфер $S_i$ и $S_j$. Следовательно, точка $O$ равноудалена от всех точек $A_{ij}$ и является центром проходящей через них сферы: например, отрезки $OA_{14}$ и $OA_{24}$ равны как касательные к $S_4$, $OA_{14}$ и $OA_{13}$ — как касательные к $S_1$ и т. д.
Докажем, что через точку $O$ проходит плоскость $\alpha_{12}$ ($\alpha_{23}$ и $\alpha_{13}$ рассматриваются аналогично). Заметим, что касательные из $O$ к $S_1$ и $S_2$ равны ($OA_{14}=OA_{24}$). Теперь остаётся воспользоваться тем, что геометрическое место точек, касательные из которых к сферам $S_1$ и $S_2$ равны, есть плоскость $\alpha_{12}$. (Очевидно, что все касательные из любой точки $P$ плоскости $\alpha_{12}$ к $S_1$ и $S_2$ равны $PA_{12}$. Если же $P$ не лежит в этой плоскости, и прямая $PA_{12}$ пересекает сферы $S_1$ и $S_2$, кроме $A_{12}$, ещё в некоторых точках $M$ и $N$, то касательные к $S_1$ и $S_2$ равны $\sqrt{PA_{12}\cdot PM}$ и $\sqrt{PA_{12}\cdot PN}$, но $PM\ne PN$ — см. рис. 1.)
Рис. 1. Если $PT$ — касательная к $S_1$, то $\angle PTM=\angle PA_{12}T$, следовательно, $\triangle PTM\sim\triangle PA_{12}T$ и $\dfrac{PM}{PT}=\dfrac{PT}{PA_{12}}$
Наше рассуждение годится и в случае, когда все сферы лежат одна вне другой, и когда три из них лежат внутри четвёртой. Нетрудно убедиться, что в первом случае сфера, проходящая через точки $A_{ij}$, «полувписана» в тетраэдр с вершинами в центрах данных сфер, т. е. касается всех его рёбер (в точках $A_{ij}$). Аналогичное верно и во втором случае.
Упомянем ещё одно решение, использующее инверсию в пространстве (см. статью В. М. Уроева «Инверсия» в «Кванте» № 5 за 1984 г.). При инверсии с центром $A_{12}$ сферы $S_1$ и $S_2$ перейдут в параллельные плоскости, а $S_3$ и $S_4$ — в сферы, касающиеся этих плоскостей и друг друга (рис. 2). Очевидно, что 5 точек касания, возникающие на преобразованной конфигурации, лежат в одной плоскости. Рассматриваемая инверсия превращает эту плоскость в сферу (или плоскость), проходящую через $A_{12}$.
