Задача М105‍‍

Сумма цифр числа после умножения на 8 может уменьшиться: $75\cdot 8=300$‍‍ — сумма цифр была $7+5=12$‍,‍ а стала 3. Однако она не может уменьшиться более чем в 8 раз.

Докажите, что $$ \dfrac{S(8M)}{S(M)}\geq\dfrac{1}{8}, $$ где $M$‍‍ — натуральное число, а $S(A)$‍‍ — сумма цифр числа $A$‍‍ (в десятичной записи). Для каких ещё натуральных чисел $k$‍‍ существует такое положительное число $c_k$‍,‍ что $$ \dfrac{S(kN)}{S(N)}\geq c_k $$ для всех натуральных $N$‍?‍ Найдите наибольшее подходящее значение $c_k$‍.‍