Докажите, что если произведение $mn$ делится на 6 (где $m$ и $n$ — целые числа, большие 1), то прямоугольник $m\times n$ клеток можно разрезать на уголки из трёх клеток.
Рис. 1
При каких $m$ и $n$ это можно сделать так, чтобы линии раздела не вырезали (рис. 1)
ни одного прямоугольника $2\times3$ клетки?
ни одного прямоугольника (меньшего $m\times n$)?
а) Достаточно рассмотреть два случая: $m=3k$, $n=2l$ или $m=6k$, $n=2l+1$, где $k\ge1$, $l\ge1$. В первом случае прямоугольник $m\times n$ можно разбить на $k\times l$ прямоугольников $3\times2$, каждый из которых разрезан на два уголка (рис. 1, а). Во втором — отрезаем от прямоугольника $m\times n$ полосу $m\times3$, которую можно разрезать на $3k$ прямоугольников $2\times3$ (рис. 1, б), а затем (при $l\gt1$) разрезаем оставшийся прямоугольник $m\times(2l-2)$ так же, как в первом случае.
Вообще, прямоугольник $m\times n$ можно разрезать на уголки тогда и только тогда, когда одно из чисел $m$ и $n$ делится на 3, за исключением случая$3\times(2l+1)$ (или$(2l+1)\times3$). Действительно, очевидно, что $mn$ — число клеток в прямоугольнике $m\times n$ — делится на 3, причём если одно из чисел $m$ и $n$ равно 3, то уголки неизбежно должны складываться в прямоугольник $3\times2$ (рис. 1, б), поэтому другое число должно быть чётно. Обратно, пусть $m$ делится на 3. Можно считать, что $\dfrac m3$ и $n$ — нечётные числа, $m\ge9$, $n\ge5$ (остальные случаи рассмотрены выше), т. е. $m=9+6k$, $n=5+2l$, $k$, $l\ge0$. Прямоугольник $m\times n$ разрезается на 3 прямоугольника: $9\times5$, $9\times2l$ и $6k\times n$; разрезание первого из них на уголки показано на рисунке 2, два других разрезаются на прямоугольники $3\times2$, как было показано выше.
Рис. 2
б), в) В обеих задачах б) и в) ответ одинаков: «разрезания без прямоугольников» (будем называть их правильными) существуют лишь для прямоугольников $6k\times2n$, где $k\ge1$, $n\ge3$, $6\times4$ и $3\times2$. Как мы уже видели в решении задачи а), одно из чисел $m$ и $n$ должно делиться на 3. Заметим далее, что при правильном разрезании уголок может примыкать к стороне прямоугольника $m\times n$, отличного от $3\times2$, только по двум клеткам — иначе образуется прямоугольник $3\times2$ (рис. 3). Следовательно, числа $m$ и $n$ должны быть чётными.
Рис. 3
Прямоугольник $6k\times2$ правильно разрезать нельзя — очевидно, он обязательно распадается на прямоугольники $3\times2$. Легко видеть также, что при попытке правильного разрезания прямоугольника $6k\times4$ обязательно образуется прямоугольник $6\times4$ (начните с короткой стороны — рис. 4), поэтому при $k\gt1$ правильное разрезание здесь также невозможно. Наконец, правильное разрезание прямоугольника $6k\times2l$ при $k\ge1$, $l\ge3$ показано на рисунке 5, где нужно взять $k-1$ «блоков» $A$ по вертикали, а по горизонтали — по $l-3$ голубых «блока» в ряду.
Рис. 4
Существуют и другие замещения прямоугольников уголками. Например, переставляя уголки внутри «крестов», можно получать симметричные правильные разрезания из разрезаний на прямоугольники (см. рис. 6 для случая $6k\times6l$). Можно показать, что любой прямоугольник, допускающий правильное разрезание, допускает и симметричное правильное разрезание.
