Ответ: в обоих вариантах игры побеждает начинающий. Это справедливо и для любой шоколадки из $mn$ долек (размером $m\times n$), где $mn$ чётно (за исключением случая шоколадки $2\times n$ с нечётным $n$ в варианте б) — здесь ответ зависит от $n$). Мы рассмотрим сразу общий случай. Интересно, что выигрышные стратегии в «противоположных» вариантах а) и б) почти совпадают.
а) Стратегия, обеспечивающая выигрыш начинающему, такова. Хотя бы одно из чисел $m$ и $n$ чётно — пусть это будет $m$ ($m=2k$). Первым ходом начинающий разламывает шоколадку на две одинаковые половины (по $n\times k$ долек). Затем каждый ход второго он дублирует на другой половине шоколадки. Таким образом, после каждого хода первого игрока обе половины будут разломаны совершенно одинаковым образом. Ясно, что при этом первый не отломит дольку $1\times1$ раньше, чем это сделает второй.
б) Здесь при чётном $m\gt2$ и $n\gt1$ начинающий может использовать ту же «симметричную» стратегию до тех пор, пока второй не отломит полоску шириной 1; первый тут же отламывает от неё дольку $1\times1$ и выигрывает.
$
\def\r{\textcolor{red}}
\colsep{0pt}{\begin{array}{c}
1~~\r2~~\r3~~4~~5~~6~~\r7~~\r8~~9~~10~~11\\\\[-4pt]
\r{12}~~\r{13}~~14~~15~~16~~\r{17}~~\r{18}\\\\[-4pt]
19~~20~~21~~\r{22}~~\r{23}~~24~~\underline{25}
\end{array}}$
При публикации задачи мы по недоразумению не поместили рядом с условием рисунок, изображающий шоколадку из $5\times10$ долек; поэтому строго говоря, нужно рассмотреть ещё случай шоколадки $2\times25$ (хотя, по-видимому, в жизни таких не бывает). В варианте б) игры «симметричная» стратегия для шоколадки $2\times n$ не годится — отламывать полоску шириной 1 нельзя (это немедленно ведёт к проигрышу), так что шоколадку можно ломать только «поперёк». Возникает такая игра в «разбиение». На доске написано вначале число $n$; затем при каждом ходе одно из чисел стирается и пишутся некоторые два натуральных числа, в сумме дающих стёртое. Проигрывает тот, кто вынужден написать 1 (т. е. проигрышная позиция — это набор чисел 2 и 3). Вопрос о том, кто выигрывает в подобных играх, оказывается далеко не простым; об интересной теории, позволяющей найти ответ без большого перебора, будет рассказано в одном из номеров «Кванта» в будущем году. Пока сообщим лишь ответ: при $n=25$ выигрывает начинающий (один из правильных первых ходов: $25=13+12$).
Ответ для нечётного $mn$ в общем случае нам неизвестен ни для варианта а), ни для варианта б) игры.
