Условие задачи (1987, № 3) Задача М1033 // Квант. — 1987. — № 3. — Стр. 19; 1987. — № 7. — Стр. 39.
Окружность отрезает от квадрата четыре криволинейных треугольника (граница каждого состоит из дуги окружности и двух отрезков). Выкрасим два из них, примыкающих к противоположным углам квадрата, в голубой цвет, два другие — в красный. Докажите, что
- суммы красных и голубых дуг равны;
- суммы периметров красных и голубых треугольников равны.
Изображения страниц
Решение задачи (1987, № 7) Задача М1033 // Квант. — 1987. — № 3. — Стр. 19; 1987. — № 7. — Стр. 39.
а) Проведём в окружности диаметры, параллельные сторонам квадрата. Они делят пополам дуги, находящиеся вне квадрата (рис. 1). Чтобы получить сумму красных дуг, нужно из двух четвертей окружности вычесть по половинке от каждой из выступающих за квадрат дуг; точно так же получается сумма голубых дуг.
б) С учётом утверждения а) нам достаточно доказать, что сумма длин красных отрезков сторон квадрата, выступающих за окружность, равна сумме длин голубых отрезков. Диаметры, которые мы рассмотрели в решении задачи а), делят пополам хорды, высекаемые на сторонах квадрата окружностью. При этом внутри каждой пары вертикальных углов, определяемых этими диаметрами, заключена половина периметра квадрата (это следует из равенства отрезков, отмеченных на рисунке 2). Следовательно, и сумма длин красных уголков, и сумма длин голубых уголков равны полупериметру квадрата минус полусумма хорд.
Верно и чуть более сильное утверждение: сумма горизонтальных красных отрезков равна сумме горизонтальных голубых отрезков, аналогично — для вертикальных. Кроме того, квадрат в условии задачи можно заменить на прямоугольник.