Поскольку $1986!!=(1987-1)\cdot(1987-3)\cdot(1987-5)\ldots(1987-1985)$, остаток от деления этого числа на 1987 равен остатку от деления произведения
$$
(-1)\cdot(-3)\cdot(-5)\ldots(-1985) = (-1)^{1986/2}\cdot1985!!=-1985!!
$$
на 1987, следовательно, $1985!!+1986!!$ делится нацело на 1987.
Заметим, что согласно так называемой теореме Вильсона, $(p-1)!+1$ делится на $p$ при любом простом $p$, число $1986!=1985!!\cdot1986!!$ при делении на 1987 даёт в остатке 1, поскольку 1987 — число простое. Поэтому остаток от деления одного из чисел $1985!!$ или $1986!!$ на 1987 равен 1 (а другого — 1986). Какого именно — мы предлагаем выяснить читателям.
