Две прямые, проведённые через одну и другую точку пересечения продолжений противоположных сторон выпуклого четырёхугольника, разрезают его на четыре меньших четырёхугольника. Докажите, что если в два из них, не имеющие общей стороны, можно вписать окружности, то и в исходный четырёхугольник можно вписать окружность.
Известно, что в четырёхугольник можно вписать окружность тогда и только тогда, когда суммы его противоположных сторон равны. Оказывается, имеются ещё два аналогичных признака, которые и используются в решении задачи.
Пусть стороны $AB$ и $DC$ четырёхугольника $ABCD$ при продолжении пересекаются в точке $E$, а стороны $AD$ и $BC$ — в точке $F$ (рис. 1). Тогда для существования вписанной в четырёхугольник $ABCD$ окружности необходимо и достаточно выполнение любого из следующих двух условий:
$$
\begin{align*}
EB+FB&=ED+FD,\tag1\\
EA-FA&=EC-FC.\tag2
\end{align*}
$$
Рис. 1
Докажем их необходимость. Пусть $a$, $b$, $c$, $d$, $e$, $f$ — длины касательных, проведённых из точек $A$, $B$, $C$, $D$, $E$, $F$ к вписанной в $ABCD$ окружности. Тогда $EB=e-b$, $FB=f+b$, $ED=e+d$, $FD=f-d$, так что обе части равенства (1) равны $e+f$. Аналогично доказывается, что обе части равенства (2) равны $e-f$.
Докажем достаточность условия (1). Пусть оно выполнено. Впишем в треугольник $AED$ окружность и проведём к ней из точки $F$ касательную, пересекающую $EA$ и $ED$ в точках $B_1$ и $C_1$. Из доказанного выше следует, что $EB_1+FB_1=ED+FD=EB+FB$, т. е. $FB=FB_1+(EB_1-EB)=FB_1 \pm BB_1$ (знак зависит от того, с какой стороны от $B$ лежит точка $B_1$). Полученное равенство при $B_1\ne B$ противоречит неравенству треугольника для точек $F$, $B$ и $B_1$. Следовательно, $B_1=B$ — построенная окружность касается и четвёртой стороны $BC$ данного четырёхугольника. Достаточность условия (2) устанавливается аналогично.
Рис. 2
Теперь легко доказать утверждение задачи. Пусть $O$ — точка пересечения прямых, разрезающих данный четырёхугольник $ABCD$ (рис. 2). Если окружности можно вписать в четырёхугольники при вершинах $B$ и $D$, то в силу условия (1) для этих четырёхугольников $EB+FB=EO+FO=ED+FD$; применяя условие (1) к $ABCD$, получаем, что и в этот четырёхугольник можно вписать окружность. Для четырёхугольников при вершинах $A$ и $C$ утверждение задачи по признаку (2) вытекает из равенств $EA-FA=EO-FO=EC-FC$.
