Фиксируем $\alpha$, $\beta$, $\gamma$. Мы должны доказать, что наибольшее значение левой части рассматриваемого неравенства как функции от $\alpha_1$, $\beta_1$, $\gamma_1$ при $\alpha_1+\beta_1+\gamma_1=\pi$ достигается, когда $\alpha_1=\alpha$, $\beta_1=\beta$, $\gamma_1=\gamma$. Умножая левую часть на $\sin\alpha\cdot\sin\beta\cdot\sin\gamma$, придадим ей вид $$
\sin\beta\cdot\sin\gamma\cdot\cos\alpha_1+\sin\gamma\cdot\sin\alpha\cdot\cos\beta_1+\sin\alpha\cdot\sin\beta\cdot\cos\gamma_1=A.
$$
Это выражение можно истолковать как сумму (взятую со знаком минус) трёх попарных скалярных произведений векторов $\overrightarrow{a}$, $\overrightarrow{b}$ и $\overrightarrow{c}$ длин $a=\sin\alpha$, $b=\sin\beta$, $c=\sin\gamma$, направленных по сторонам треугольника с углами $\alpha_1$, $\beta_1$, $\gamma_1$ (см. рисунок):
$$
A=-(\overrightarrow{b}\cdot\overrightarrow{c}+\overrightarrow{c}\cdot\overrightarrow{a}+\overrightarrow{a}\cdot\overrightarrow{b})=\frac{1}{2}\left(a^2+b^2+c^2-\left(\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}+\overrightarrow{c}\right)\cdot\left(\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}+\overrightarrow{c}\right)\right),
$$
поскольку $bc\cos\alpha=-\overrightarrow{b}\cdot\overrightarrow{c}$ и т. д. Очевидно, что наибольшее значение эта величина принимает, когда $\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}+\overrightarrow{c}=\overrightarrow{0}$, т. е. из векторов $\overrightarrow{a}$, $\overrightarrow{b}$, $\overrightarrow{c}$ можно составить треугольник. Углы этого треугольника равны $\alpha_1$, $\beta_1$, $\gamma_1$, а противолежащие им стороны — $\sin\alpha$, $\sin\beta$, $\sin\gamma$; по теореме синусов получаем, что $\alpha=\alpha_1$, $\beta=\beta_1$, $\gamma=\gamma_1$.
Рисунок
