Задача М1021‍‍

Ответ: за пять дней.

Обозначим, через $x_n$‍,‍ наибольшую высоту, до которой альпинист может подняться за $n$‍‍ дней ($n=1$‍,‍ 2, $\ldots$‍).‍ Если к концу какого-то дня он достиг высоты $h$‍‍ метров, на следующий день он может подняться на высоту $h+6\cdot30=h+180$‍‍ метров, если будет ночевать на скале, и на высоту $h+\left(6-\dfrac{h}{400}\right)\cdot40=h+240-\dfrac{h}{10}$‍‍ метров, если спустится ночевать вниз. Ясно, что первый вариант выгоднее, если $180\gt240-\dfrac{h}{10}$‍,‍ т. е. $h\gt600$‍,‍ второй — если $h\le600$‍.‍ Таким образом, $$ x_{n+1}=\left\{ \begin{array}{ll} x_n+240-\dfrac{x_n}{10},\quad\text{если }x_n\le600, \\ x_n+180,\quad\text{если }x_n\ge600. \end{array} \right. $$ Начав с $x_0=0$‍,‍ можно определить $x_n$‍‍ последовательно для всех $n$‍.‍ Поскольку $x_4\lt1000$‍,‍ а $x_5\gt1000$‍,‍ альпинист сможет достичь вершины скалы к концу 5-го дня; для этого он должен первые две ночёвки провести внизу, а последние две — на скале.

Рисунок (таблица)