Запишем уравнение газового состояния для объема газа $V$ с массой $m$ (уравнение Менделеева—Клапейрона):
$$
PV=\dfrac m\mu RT;
$$
$P$ — давление, $V$ — объём газа, $R$ — газовая постоянная и $T$ — температура. Так как $\dfrac mV=\rho$, где $\rho$ — плотность газа, то это уравнение мы можем переписать в виде
$$
P=\dfrac\rho\mu RT.
$$
Отсюда $T=\dfrac{P\mu}{\rho R}$.
Ясно, что для того, чтобы найти температуру на поверхности планеты, нам нужно найти давление на её поверхности. Если $\rho=\text{const}$, то $P=\rho gh$, где $g$ — ускорение свободного падения на данной планете. Найдём его.
Для тела массы $m$, находящегося на поверхности планеты, сила притяжения равна $mg$. С другой стороны, согласно закону всемирного тяготения она равна $\gamma\dfrac{mM}{r^2}$. Поэтому можно записать, что
$$
mg=\gamma\dfrac{mM}{r^2}.
$$
Отсюда $g=\gamma\dfrac M{r^2}$ и $P=\rho\gamma\dfrac M{r^2}h$.
Подставив это выражение для $P$ в ypaвнение для температуры, получим
$$
T=\dfrac{\gamma M\mu h}{r^2R}.
$$
