Очевидно, что распределение наведённых на шаре зарядов должно быть симметричным относительно оси $AC$. Так как в целом шар электронейтрален, то заряды выше и ниже «экватора» имеют разные знаки. Следовательно, на втором полюсе $C$ плотность поверхностных зарядов равна — $\sigma_0$, а на экваторе она равна нулю.
Поскольку заряды на поверхности проводника всегда распределяются так, что их плотность пропорциональна напряжённости электрического поля, то можно считать, что плотность наведённых зарядов $\sigma$ в каждой точке шара будет пропорциональна напряжённости внешнего поля $E$:
$$
\sigma \sim E.
$$
(Это следует также из соображений размерностей — размерности $\sigma$ и $E$ одинаковы).
Воспользуемся принципом суперпозиции и разложим поле с напряжённостью $\bm{E}$ в точке $B$ на две составляющие (рис. 11) — по направлению $OB$ (вектор $\bm{E}_1$) и перпендикулярно к $OB$ (вектор $\bm{E}_2$):
$$E_1 = E\cos\alpha,\quad E_2 = E\sin\alpha.$$
Плотность зарядов $\sigma$ в точке $B$ тоже представим как сумму плотностей зарядов, которые возникают в этой точке: $\sigma = \sigma_1 + \sigma_2$, причём $\sigma_1$ создаётся полем с напряжённостью $\bm{E}_1$, а $\sigma_2$ — полем с напряжённостью $\bm{E}_2$.
Но в поле с напряжённостью $\bm{E}_2$, точка $B$ лежит на «экваторе» сферы, поэтому $\sigma_2 = 0$. В поле же с напряжённостью $\bm{E}_1$, точка $B$ является «полюсом» сферы. Поэтому $\sigma_1 \sim E_1$
$$
\dfrac{\sigma_1}{\sigma_0} = \dfrac{E_1}{E}.
$$
Отсюда
$$
\sigma = \sigma_1 = \sigma_0\dfrac{E_1}{E_0} = \sigma_0\cos\alpha.
$$
Рисунок номер 11
