Текст статьи Корчемкина Т. А. Всё сложится // Квант. — 2026. — № 4. — С. Обложка, 34—37.
Существует много разных многогранников — куб, октаэдр, икосаэдр, различные пирамиды и призмы; бывают и такие многогранники, у которых нет специальных названий. Многогранники интересно склеивать из бумаги. Мы поговорим о том, что можно склеить из плоской бумажной заготовки, как она должна выглядеть и как это сделать. Речь пойдёт о выпуклых многогранниках, т. е. таких, которые можно положить на стол на любую из граней.
Рассмотрим сначала обратную задачу: попытаемся разрезать многогранник так, чтобы результат можно было развернуть в плоскую фигуру. Нарисуем на многограннике широким маркером несколько отрезков, каждый своим цветом, и отметим их концы, а затем разрежем многогранник по этим отрезкам. Допустим, в итоге получится многоугольник (или набор многоугольников), в котором одним и тем же цветом покрашены стороны или части сторон, которые раньше прилегали друг к другу, а также отмечены концы разрезов. То, что получилось, называется развёрткой многогранника. Оказывается, что всегда можно сделать разрезы так, чтобы получился один многоугольник. Это было доказано не так давно по меркам науки — в 1992 году.
На рисунке 1 показано, как получить развёртку правильного тетраэдра. Его можно разрезать вдоль нескольких рёбер. Такая развёртка называется рёберной.
Любой ли выпуклый многогранник можно разрезать по некоторым рёбрам и получить в результате ровно один многоугольник — неизвестно. В то же время, один и тот же многогранник можно разрезать по-разному, совсем не обязательно по рёбрам, получая разные развёртки. Например, правильный тетраэдр можно «развернуть» не только в треугольник, но и в прямоугольник. Попробуйте сделать это.
Часто развёрткой называют просто набор многоугольников, но это неправильно: без заданных правил склеивания неясно, можно ли склеить из этого набора многогранник. А кроме того, оказывается, что при разных правилах могут получиться разные многогранники.
Вернёмся теперь к исходной задаче. Разберёмся сначала, как сложить многогранник из развёртки — многоугольника с раскрашенными сторонами. Части сторон, отмеченные одним и тем же цветом, нужно приклеить друг к другу. Делать это нужно аккуратно, следя, чтобы многогранник не перекручивался. Проще всего начать с одноцветных сторон-соседей: если развёртка состоит из одного многоугольника, такая пара всегда найдётся. Удобно, если ещё отмечены сгибы, которые станут рёбрами многогранника. Например, на рисунке 2 показано, как из клетчатой «лесенки» можно склеить куб, приклеивая покрашенные одним и тем же цветом стороны и сгибая по тонким чёрным линиям.
Зададим теперь на той же самой «лесенке» другие правила склеивания, т. е. подругому раскрасим стороны и обозначим концы разрезов. Например, как на рисунке 3. Это — другая развёртка.
Удастся ли теперь, совместив друг с другом одноцветные части, склеить какойлибо выпуклый многогранник? Хотелось бы ответить на этот вопрос до начала самого склеивания. Прежде всего, надо проверить, равны ли длины отрезков одного и того же цвета или можно ли отрезки одного цвета разбить на две группы с одинаковой суммой длин. На рисунке 3 это выполнено, так что надежда, что всё сложится, есть. А что ещё надо проверить? Следующая теорема утверждает, что совсем немного.
Теорема Александрова. Склеить выпуклый многогранник можно из всякой развёртки, удовлетворяющей условиям:
- её эйлерова характеристика равна 2;
- сумма углов развёртки, прилежащих ко всем вершинам, склеиваемым в одну, не превосходит
$360^\circ$.
Как ни странно, теорема не говорит ничего о том, где и как сгибать развёртку. Оказывается, если склеивать соответственные стороны развёртки, следя за тем, чтобы получался выпуклый многогранник, нужные сгибы появятся сами собой.
Попробуем разобраться, что означают условия теоремы. Эйлерова характеристика развёртки — это величина $$ \chi=\text{В}-\text{Р}+\text{Г}, $$ где В — количество вершин развёртки, Р — количество её рёбер, а Г — количество граней развёртки. Грани развёртки — это многоугольники, из которых она состоит. Их может быть несколько. Рёбра — это отрезки, которые мы рисовали маркером. При подсчёте рёбер нужно учитывать, что стороны, покрашенные одним цветом, после склейки образуют одно ребро. Так же и с вершинами: вершины развёртки — это концы разрезов, и одной вершине на многограннике могут соответствовать несколько точек развёртки.
Эйлерова характеристика развёртки должна быть равна 2. Действительно, нарисованные на многограннике отрезки разрезов и их концы образуют граф с таким же количеством рёбер, вершин и граней, как у развёртки, а для графов на многограннике выполнена формула Эйлера $$ \text{В}-\text{Р}+\text{Г}=2. $$
Выясним, выполнено ли первое условие теоремы для развёртки, изображённой на рисунке 3. Развёртка состоит из одного многоугольника, поэтому
Посчитаем теперь вершины. В этом нам поможет склеивание рёбер. Начнём, к примеру, с общей точки рёбер с номером 2 и обозначим её буквой
Теперь мы знаем, что у рёбер с номером З одна из вершин — это
Итак,
Второе условие теоремы Александрова требует, чтобы сумма углов при каждой вершине не превосходила
Здесь существенно, что в теореме речь идёт о выпуклых многогранниках: у невыпуклых эта сумма может оказаться больше. Например, у многогранника, изображённого на рисунке 7, сумма углов, прилежащих к вершине
Для нашей развёртки (см. рис. 6) второе условие теоремы выполнено: сумма углов при вершинах
Итак, все условия теоремы Александрова выполнены — значит, сложить многогранник получится!
Однако на практике возникает ещё одно затруднение: непонятно, как на развёртке провести линии сгиба, которые станут рёбрами многогранника. То, что после «правильного» задания правил склеивания провести сгибы на развёртке можно лишь одним способом и склеить по таким правилам выпуклый многогранник можно также единственным способом, гарантирует теорема Коши—Александрова. Складывание нашей развёртки показано на рисунке 8.
О доказательстве теоремы Коши—Александрова, о формуле Эйлера и о других фактах, связанных с многогранниками и развёртками, можно узнать в статье Н. Долбилина «Три теоремы о выпуклых многогранниках» в «Кванте» №№5, 6 за 2001 год.
Чтобы лучше разобраться в том, как склеивать многогранники, и ощутить сложность и красоту этого занятия, предлагаем решить несколько задач.
Задачи
- Дана прямоугольная развёртка правильного тетраэдра с отмеченными рёбрами и вершинами (рис. 9). Как на развёртке пройдут сгибы?
- Сложите тетраэдр из произвольного остроугольного треугольника.
- Сложите правильный тетраэдр из треугольника с углами
$30^\circ$, $30^\circ$ и$120^\circ$. - (С. Маркелов, 2-я Олимпиада по геометрии имени И. Ф. Шарыгина.) Может ли развёртка тетраэдра оказаться треугольником со сторонами 3, 4 и 5 (тетраэдр можно резать только по рёбрам)?
- Придумайте, как сложить тетраэдр из произвольного треугольника так, чтобы сгибы оказались рёбрами тетраэдра.
- (Т. Корчемкина, 17-я Олимпиада по геометрии имени И. Ф. Шарыгина.) Может ли треугольник быть развёрткой четырёхугольной пирамиды?
- Что можно склеить из развёртки, изображённой на рисунке 10 (пунктирными линиями отмечены линии сгибов)?
Сложите из изображённого на рисунке 11 многоугольника:
- треугольную пирамиду, сгибая по пунктирным синим линиям;
- четырёхугольную пирамиду, сгибая по сплошным красным линиям.
- В фильме Э. Демейна «Метаморфоза» показано несколько многогранников, которые можно склеить из многоугольника, изображённого на рисунке 10. Один из них представлен на обложке этого номера журнала. Придумайте свои правила склейки и попробуйте склеить что-нибудь красивое.
