Текст статьи Варламов А. А. Математика на пути в теоретическую физику // Квант. — 2022. — № 3. — С. 13—15.
Андрей Андреевич Варламов — профессор, доктор физико-математических наук, ведущий научный сотрудник Института сверхпроводимости и инновационных материалов Совета по науке Италии, постоянный член Редакционной коллегии журнала «Квант».
Трудно вспомнить, когда я впервые столкнулся с математикой. Наверное, в возрасте лет трёх, когда мой старший брат угощал меня привезёнными из Москвы мандаринами. Он выдавал их мне по одному при условии, что при получении очередного я скажу, сколько штук уже съел до того. Так, уже в нежном возрасте, я научился считать до пяти — дальше начиналась крапивница.
Затем в истории моих отношений с математикой следует длительный период тет-а-тет с книгами Перельмана и томом Детской энциклопедии — в английской школе мои одноклассники разговоры о геометрических местах точек не поддерживали. Заинтересованных собеседников я впервые повстречал, перейдя после седьмого класса в физико-математическую школу. Здесь я вскоре обнаружил, что наша компания делится на две неравные группы: в первой математику любят как искусство, ради неё самой; во второй же хотели поскорей разобраться с дифференциальными уравнениями для того, чтобы решать уравнения Ньютона с зависящими от расстояния силами. Я явно принадлежал ко второй группе.
Помимо хороших учителей и занятий по углублённым школьным программам математики и физики, нас всех привлекала романтика Большой науки, которая, конечно же, находилась за семью горами: на Физтехе, в МГУ, в Новосибирском университете. Чтобы оказаться там поскорее, мы читали «Высшую математику для начинающих» Зельдовича, «Аналитическую геометрию» Привалова, «Основы математического анализа» Фихтенгольца и другие книги, купленные без особого разбора. Читали сами, и понимали в меру своей одарённости — для подавляющего большинства это всё же было весьма поверхностное чтение.
Тем не менее, поступив на Физтех, некоторые из нас ошибочно восприняли регулярное посещение университетских курсов математики с некоторым высокомерием («а, я это уже знаю» ). Всё казалось им знакомым и лёгким, однако равномерная сходимость для них по-прежнему не отличалась от обычной. Впоследствии такая поверхностность стала серьёзной проблемой — некоторые студенты, пришедшие на Физтех из далёких деревенских школ и напряжённо вникающие в тонкости алгебры и анализа, подошли к теории дифференциальных уравнений, теории функций комплексного переменного и функциональному анализу более подготовленными, а затем ушли вперёд навсегда.
Большую роль в формировании будущих физиков-теоретиков на протяжении многих десятилетий играл и играет теоретический минимум Ландау. Эта, разработанная Ландау и хранимая его учениками, система из девяти экзаменов включала в себя два экзамена по математике и семь по теоретической физике. С последними всё было ясно: один экзамен — один том Ландау. Экзамены же по математике предполагали, что сдающий умеет решать задачи по дифференциальному и интегральному исчислениям, векторному анализу, тензорной алгебре, брать интегралы вычетами, уметь решать дифференциальные уравнения с переменными коэффициентами методом Лапласа, делать аналитические продолжения и исследовать асимптотическое поведение решений, уметь обращаться со специальными функциями и многое другое.
Теорминимум оказался бесценным воспитателем. На первых курсах физтеха он стимулировал тех, кто решился его сдать, пройти ускоренно программу очередного семестра, выполнить заранее все лабораторные работы и теоретические задания, по возможности сдать экзамены, а затем с наслаждением сесть за «Механику» Ландау и Лифшица или за «Задачник по высшей математике», составленный Гюнтером и Кузьминым для инженеров транспорта в 1912 году, решать методом «выжженной земли» задачу за задачей, вычислять интеграл за интегралом. Читать «Векторный анализ» Кочина, доставать рукописные лекции Коренева по тензорному анализу...
И вот, экзамены по математике І, механике, теории поля сданы, впереди «символ веры» — квантовая механика. Здесь не обойтись без знания всего того, что составляет суть математики II, поэтому начинать нужно с неё. Полгода проходит в борьбе с рядами Фурье, полиномами Эрмита, функциями параболического цилиндра и вычетами.
Наконец, теорминимум сдан, и на базовой кафедре Физтеха в Институте теоретической физики имени Л. Д. Ландау несколько счастливчиков начинают заниматься собственно наукой. У каждого свой научный руководитель, своя задача в определённой области теоретической физики. Соответственно, знания в различных областях математики приходится углублять дальше: уравнения в частных производных — тем, кто занимается решением гидродинамических задач и решением уравнения Навье-Стокса, функциональное интегрирование — в задачах квантовой теории поля, ренормализационная группа — в теории фазовых переходов второго рода.
Подход теоретика нашего поколения к математике утилитарен: не бывает неберущихся интегралов. Если невозможно вычислить интеграл точно, то следует изучить все его асимптотики, а в промежуточной области проинтегрировать численно. В отличие от чистых математиков, как и в детстве, нас интересует результат — физическая задача должна быть доведена до ответа, который может быть измерен на эксперименте и сравнён с теоретическим предсказанием или, наоборот, теория сумеет объяснить имеющиеся экспериментальные результаты. При этом особое значение имеют приближённые методы, интуитивное понимание происходящих в природе процессов, которые помогают найти частное решение там, где чистая математика оказывается бессильной. Здесь незаменимым помощником служит книга Мигдала «Качественные методы в квантовой теории».
На протяжении многих лет я занимаюсь, главным образом, теорией нормальных металлов и сверхпроводимостью. Мой рабочий аппарат составляют теория функций комплексного переменного, аналитическое продолжение, теория специальных функций, дифференциальные уравнения в обычных и частных производных, функциональный анализ, в особенности решение спектральных задач, функциональное интегрирование, теория функций Грина, теория вероятностей и топология. Знаний математики мне, конечно же, не хватает. Так, думаю, что более глубокое изучение в молодости топологии и теории фракталов позволило бы мне получить более интересные результаты в теории электронных топологических переходов и в теории квазикристаллов по сравнению с тем, что было мною сделано.