Соколов Е. П.

Палеонтология и КарлсонСоколов Е. П. Палеонтология и Карлсон // Квант. — 1997. — № 4. — С. 14⁠—⁠15.‍‍

Палеонтология — замечательная наука. По одному зубу она может восстановить внешний вид динозавра. Давайте и мы попробуем свои силы на этом поприще. Поставим себя на место палеонтологов будущего и постараемся восстановить внешний вид какого-нибудь всем нам хорошо известного существа. Ну например, Карлсона, который живёт на крыше.

Ограничимся минимумом заранее известных фактов. Будем считать, что легенды седой старины донесли до нас лишь упоминания о неком живом существе, живущем на крышах домов, перемещающемся в пространстве с помощью воздушного винта и питающемся исключительно малиновым вареньем. В качестве «археологической находки», с которой мы начнём свои построения, возьмём обрывок страницы со словами «я — мужчина в самом расцвете сил».

Итак, начинаем.

Что же у нас есть? У нас есть уже два числа. Действительно, слова «мужчина в расцвете сил» позволяют оценить массу Карлсона как $m=70$‍‍ кг. С другой стороны, способность пролетать в слуховые окна крыш ограничивает размер винта, поэтому оценим радиус винта как $R=0{,}2$‍‍ м (рис. 1).

Исследуем теперь физические характеристики Карлсона как летательного аппарата. Прежде всего найдём скорость воздушной струи, создаваемой пропеллером. Для оценки ограничимся случаем, когда объект неподвижно висит в воздухе. Рассматривая воздух и Карлсона как единую систему, запишем для них второй закон Ньютона в виде $$ \Delta\overrightarrow{p_{\text{возд}}}+\Delta\overrightarrow{p_{\text{Карл}}}=m\overrightarrow{g}\,\Delta t. $$ Изменение пульса неподвижного Карлсона равно нулю, а изменение импульса воздуха составляет $\Delta m\,v$‍,‍ где $\Delta m=\rho vS\,\Delta t$‍‍ — масса воздуха, вовлекаемого в движение за время $\Delta t$‍,‍ $\rho=1{,}3$‍‍ $\dfrac{\text{кг}}{\text{м}^3}$‍‍ — плотность воздуха. Поэтому можем записать $$ \rho vS\,\Delta t\,v=mg\,\Delta t, $$ откуда получаем скорость, воздушного потока: $$ v=\sqrt{\dfrac{mg}{\rho S}}=65~\dfrac{\text{м}}{\text{с}}. $$ Это очень приличная скорость — почти 240 $\dfrac{\text{км}}{\text{ч}}$‍,‍ т. е. скорость небольшого самолёта. А самолёт должен иметь обтекаемую форму. Отсюда второй вывод — туловище Карлсона имеет обтекаемую форму и малое лобовое сопротивление (рис. 2).

Обсудим затем энергетику Карлсона как тепловой машины. Развиваемую им механическую мощность оценим следующим образом. Ежесекундно им вовлекается в движение масса воздуха $\rho vS$‍‍ и ей придаётся скорость $v$‍,‍ следовательно, механическая мощность составляет $$ P_{\text{м}}=\dfrac{\rho Sv^3}2=2{,}3\cdot10^4~\text{Вт}=31~\text{л. с.} $$ Итак, по развиваемой мощности Карлсон не уступает «Запорожцу». Для оценки полной мощности Карлсона (количества теплоты, выделяющегося в нём в единицу времени за счёт «сжигания» пищи) примем его КПД равным 30%. Тогда $$ P_{\text{п}}=\dfrac{P_{\text{м}}}{0{,}3}=7{,}6\cdot10^4~\text{Вт}=100~\text{л. с.} $$ Это существенно превышает не только среднюю мощность банковского служащего: 2700 $\dfrac{\text{ккал}}{\text{сут}}=131$‍‍ Вт, но и мощность металлурга: 3600 $\dfrac{\text{ккал}}{\text{сут}}=175$‍‍ Вт. Поэтому совсем неудивительно, что отголоски об этом удивительном существе дошли до нас через тысячелетия.

Новые уровни мощности — новые схемы систем жизнеобеспечения. На очереди — организация системы дыхания. Вначале один пример. Когда обычный мужчина «в расцвете лет» взбегает на пятый этаж за 20 секунд, он развивает механическую мощность 700 Вт. При этом частота дыхания у него возрастает до 1 вдоха в секунду, и, с учётом того, что за один вдох он вдыхает 1,5 литра воздуха, потребление воздуха у него составляет 90 $\dfrac{\text{л}}{\text{мин}}$‍.‍ В пересчёте на механическую мощность Карлсона получим, что потребность Карлсона в воздухе равна $$ Q=50~\dfrac{\text{л}}{\text{с}}=3~\dfrac{\text{м}^3}{\text{мин}}. $$ Обычная система дыхания не годится. Несомненно, в этом случае природа выбрала проточную систему дыхания. Так что Карлсон — это трубка (рис. 3). Расчёт показывает, что для поддержания необходимого воздухоснабжения внутренний радиус трубки $r$‍‍ должен составлять 1,5 см.

Не менее остра для Карлсона и проблема теплоотвода. Ведь тепловая мощность, которую необходимо отводить, равна $$ P_{\text{т}}=P_{\text{п}}-P_{\text{м}}=5{,}3\cdot10^4~\text{Вт}. $$ Вряд ли Карлсон светился как лампочка, поэтому на отвод тепла в виде излучения рассчитывать не приходится. Остаётся обычная теплопроводность. А это означает, что Карлсон — тонкостенная трубка с большой боковой поверхностью. Найдём толщину стенок трубки $\delta$‍‍ и её длину $L$‍.‍ Для этого приравняем тепловую мощность тепловому потоку, идущему за счёт теплопроводности из внутренних областей наружу: $$ P_{\text{т}}=\lambda\dfrac{\Delta T}{\Delta x}S_\delta, $$ где $\lambda$‍‍ — коэффициент теплопроводности воды (Карлсон, как и все живые существа, должен состоять в основном из воды), $\Delta T=24$‍‍ К — разность внутренней температуры, которая никак не больше 42 $^\circ$‍‍C, и наружной, которую примем равной 18 $^\circ$‍‍C, $\Delta x=\dfrac\delta2$‍,‍ $S_\delta=2\cdot 2\pi rL$‍‍ — общая площадь внешней и внутренней поверхностей. Это уравнение, совместно с выражением для полной массы Карлсона $$ m=\rho_{\text{воды}}\cdot2\pi r\delta L, $$ даёт: $$ \delta=8{,}3~\text{мм},\quad L=30~\text{м}. $$ Длина великовата. Выход один: Карлсон — это громадный слоистый радиатор (рис. 4).

И последняя проблема — питание. Калорийность малинового варенья $q=3{,}5$‍‍ $\dfrac{\text{ккал}}{\text{г}}$‍,‍ поэтому скорость его потребления равна $$ \dfrac{P_{\text{п}}}q=5~\dfrac{\text{г}}{\text{с}}=300~\dfrac{\text{г}}{\text{мин}}=30~\dfrac{\text{ч. ложек}}{\text{мин}}. $$ Двух рук здесь маловато. А что, если в результате эволюции каждый палец превратился в чайную ложку? Никаким известным законам это не противоречит. Так что последний штрих к образу легендарного Карлсона — рисунок 5.

Наши изыскания в области палеонтологии закончены. И если созданный нами образ, возможно, не очень похож на персонаж Астрид Линдгрен, то давайте учтём, что у сказок свои законы.