«Квант» — научно-популярный физико-математический журнал (издаётся с 1970 года)Старый сайт журнала: kvant.ras.ru
В треугольнике $ABC$ проведена биссектриса $AK$, $D$ — точка пересечения биссектрисы внешнего угла при вершине $B$ с описанной окружностью. Докажите, что $\dfrac{\sin A}{\sin C}-\dfrac{\sin\angle CDK}{\sin\angle BDK}=1$.
Найдите все натуральные числа $x$ такие, что сумма $1+2+\ldots+x$ равна числу, полученному приписыванием к $x$ (в десятичной записи) слева цифры 1.
Найдите наименьшую возможную длину суммы семи единичных векторов с неотрицательными координатами на плоскости $Oxy$.
Можно ли разбить пространство:
Докажите, что для всех наборов $x_1$, $x_2$, $\ldots$, $x_n$, $0\lt x_1\le x_2\le\ldots\le x_n$, выражение $$ x_2^{k}(x_1-x_3)+x_3^{k}(x_2-x_4)+\ldots+x_1^{k}(x_n-x_2) $$ неотрицательно при $k\gt 1$ и неположительно при $0\lt k\lt 1$.
Можно ли из чисел 1, $\dfrac12$, $\dfrac13$, $\ldots$ выбрать последовательность:
в которой каждое число равно разности двух…
Пусть $H$ — точка пересечения высот, $O$ и $I$ — центры описанной и вписанной окружностей неравностороннего треугольника. Докажите, что из трёх отрезков $OH$, $IH$, $OI$ наибольший — $OH$.
Для каких прямоугольников $m\times n$ на клетчатой бумаге, в клетках которых расставлены нули и единицы, можно получить из любой расстановки любую другую, если разрешается изменять числа одновременно в каждой строке, каждом столбце и на каждой прямой, параллельной диагоналям клеток (в…
Пусть $x$, $y$, $z$ — длины сторон треугольника, периметр которого меньше $\pi$. Докажите, что
Натуральные числа $a$ и $b$ таковы, что $$ \dfrac{a+1}{b}+\dfrac{b+1}{a} $$ — целое число. Пусть $d$ — наибольший общий делитель чисел $a$ и $b$. Докажите, что $d^2\le a+b$.
Существует ли квадратный трёхчлен $p(x)$ с целыми коэффициентами такой, что для любого натурального числа $n$, в десятичной записи которого участвуют одни единицы, число $p(n)$ также записывается одними единицами?
В клетках бесконечного листа клетчатой бумаги записаны вещественные числа. Рассматриваются две фигуры, каждая из которых состоит из конечного числа клеток. Фигуры разрешается перемещать параллельно линиям сетки на целое число клеток. Известно, что для любого положения первой фигуры сумма чисел,…
