«Квант» — научно-популярный физико-математический журнал (издаётся с 1970 года)Старый сайт журнала: kvant.ras.ru
С натуральным числом проделывается следующая операция: его последняя цифра отделяется, умножается на 4 и прибавляется к оставшемуся числу (скажем, из 1993 получается 211). С полученным числом проделывается то же самое, и т. д. Докажите, что если в полученной последовательности встретилось 1001,…
Докажите, что для любой последовательности положительных чисел $a_n$ целые части квадратных корней из чисел $$ b_n=(a_1+a_2+\ldots+a_n)\left(\dfrac{1}{a_1}+\dfrac{1}{a_2}+\ldots+\dfrac{1}{a_n}\right) $$ все различны.
Известно, что Земля — плоская. Верно ли, что любой выпуклый многогранник можно осветить точечным фонарём из некоторой точки пространства так, что его тень будет многоугольником, хотя бы один угол которого — острый?
На дуге $BC$ окружности, описанной около треугольника $ABC$ (не содержащей $A$), взята точка $K$. Пусть $NK$ и $MK$ — биссектрисы треугольников $AKB$ и $AKC$. Докажите, что прямая…
Докажите для положительных чисел $x_1\le x_2\le \ldots \le x_n$ ($n\gt2$) неравенство $$ \dfrac{x_1}{x_2}+\dfrac{x_2}{x_3}+\ldots+\dfrac{x_n}{x_1}\ge\dfrac{x_2}{x_1}+\dfrac{x_3}{x_2}+\ldots+\dfrac{x_1}{x_n}. $$
Каждая сторона $A_kA_{k+1}$ выпуклого $n$-угольника $A_1A_2\ldots A_n$ ($n\gt4$) продлевается на равную ей длину $A_{k+1}B_k=A_kA_{k+1}$. Докажите, что площадь полученного $n$-угольника $B_1B_2\ldots B_n$ не более чем в 5 раз превосходит площадь…
Три числа $x$, $y$, $z$ удовлетворяют условиям $x+y+z=0$, $xyz=2$. Найдите максимум величины $\dfrac{x^2}{y}+\dfrac{y^2}{z}+\dfrac{z^2}{x}$.
В основании пирамиды лежит правильный $n$-угольник $A_1A_2\ldots A_n$, $B$ — вершина пирамиды. Известно, что углы $BA_1A_2$, $BA_2A_3$, $\ldots$, $BA_{n-1}A_n$, $BA_nA_1$ равны. Докажите, что пирамида правильная.
На доске написано $n$ выражений вида $*x^2+*x+*=0$ ($n$ — нечётное число). Двое играют в такую игру. Ходят по очереди. За ход разрешается заменить одну из звёздочек числом, не равным нулю. Через $3n$ ходов получится $n$ квадратных…
В семейном альбоме есть
На каждой из них изображены три человека: в центре стоит мужчина, слева от мужчины — его сын, а справа — его брат. Какое наименьшее количество различных людей может…
За круглым столом сидит компания из тридцати человек. Каждый из них либо дурак, либо умный. Всех сидящих спрашивают: «Кто ваш сосед справа — умный или дурак?» В ответ умный говорит правду, а дурак может сказать как правду, так и ложь. Известно, что количество дураков не превосходит…
Докажите, что существует такое натуральное число $n$, что если правильный треугольник со стороной $n$ разбить прямыми, параллельными его сторонам, на $n^2$ правильных треугольников со стороной 1, то среди вершин этих треугольников можно выбрать…
