«Квант» — научно-популярный физико-математический журнал (издаётся с 1970 года)Старый сайт журнала: kvant.ras.ru
Совет из 2000 депутатов решил утвердить государственный бюджет, содержащий 200 статей расходов. Каждый депутат подготовил свой проект бюджета, в котором указал по каждой статье максимально допустимую, по его мнению, величину расходов, так, чтобы общая сумма расходов не превысила заданную…
В данный угол вписаны два непересекающихся круга. Треугольник $ABC$ расположен между кругами так, что его вершины лежат на сторонах угла, а равные стороны $AB$ и $AC$ касаются соответствующих кругов. Докажите, что сумма радиусов кругов равна высоте…
Куб размером $10\times10\times10$ сложен из 500 чёрных и 500 белых кубиков в шахматном порядке (кубики, примыкающие друг к другу гранями, имеют различные цвета). Из этого куба вынули 100 кубиков таким образом, чтобы в каждом из 300 рядов размером $1\times1\times10$, параллельных какому-нибудь ребру…
На прямоугольном экране размером $m\times n$, разбитом на единичные клетки, светятся более $(m-1)(n-1)$ клеток. Если в каком-либо квадрате $2\times 2$ не светятся три клетки, то через некоторое время погаснет и четвёртая. Докажите, что тем не менее на экране всегда будет…
Внутри круга радиусом 1990 с центром в начале координат отмечено 555 точек с целыми координатами, никакие три из которых не лежат на одной прямой. Докажите, что найдутся два треугольника равной площади с вершинами в этих точках.
Пусть $a_1$, $a_2$, $\ldots$, $a_n$ — некоторая перестановка из чисел 1, 2, $\ldots$, $n$; $r_k$ — остаток от деления числа $a_1+a_2+\ldots+a_n$ на $n$ ($k=1$, 2, $\ldots$,…
Внутри треугольника $ABC$ взята произвольная точка $X$. Прямые $AX$, $BX$, $CX$ пересекают стороны $BC$, $CA$ и $AB$ в точках $A_1$, $B_1$, $C_1$.…
На плоскости дан треугольник $ABC$. Прямая $p$ параллельна прямой $AB$ и расположена на расстоянии $AC$ от неё так, что внутри полосы, образованной этими двумя прямыми ($p$ и $AB$), нет внутренних точек треугольника…
Докажите, что если последняя цифра десятичной записи числа $m$ равна 5, то $12^m+9^m+8^m+6^m$ делится на 1991.
