Задачник «Кванта» / Квант. — 1991. — № 6 / 1991 год / Номера // Архив журнала «Квант»

Изображения страниц

Скачать PDF

Текст статьи Задачник «Кванта» // Квант. — 1991. — № 6. — С. 22—31.

Задачи М1286⁠—⁠М1289 предлагались на олимпиадах и матбоях в г. Ленинграде в 1968⁠—⁠1971 гг.

Открыть в номере

Задачи М1286⁠—⁠М1290; Ф1293⁠—⁠Ф1297 Задачи М1286—М1290; Ф1293—Ф1297 // Квант. — 1991. — № 6. — С. 22—23.

Задача М1286
На конгрессе присутствуют 100 делегатов, каждый из которых знает несколько иностранных языков. Известно, что любые трое могут поговорить между собой без помощи остальных. Докажите, что делегатов можно поселить в 50 двухместных номерах гостиницы так, что живущие в одном номере могли бы…
Задача М1287
В параллелограмме $ABCD$‍‍ диагональ $AC$‍‍ больше диагонали $BD$‍.‍ Точка $M$‍‍ на диагонали $AC$‍‍ такова, что около четырёхугольника $BCDM$‍‍ можно описать окружность. Докажите, что $BD$‍‍ — общая касательная…
Задача М1288
Докажите, что число $235^2+972^2$‍‍ — составное.
Задача М1289
Целые числа $a_1$‍,‍ $a_2$‍,‍ $\ldots$‍,‍ $a_n$‍‍ таковы, что их сумма равна 1. Для каждого $k$‍‍ от 1 до $n$‍‍ через $N_k$‍‍ обозначим количество положительных чисел среди $n$‍‍…
Задача М1290
Квадратный лист бумаги размерами $8\times8$‍‍ разграфлён 14 прямыми на 64 квадратные клетки $1\times1$‍‍ и произвольным образом сложен по этим линиям в книжку $1\times1$‍‍ (из 64 листов). Листы книжки нумеруются по порядку числами 1, 2, $\ldots$‍,‍ 64, а затем она вновь…
Задача Ф1293
Текст задачи готовится
Задача Ф1294
Текст задачи готовится
Задача Ф1295
Текст задачи готовится
Задача Ф1296
Текст задачи готовится
Задача Ф1297
Текст задачи готовится

Решения задач М1261⁠—⁠М1265; Ф1273⁠—⁠Ф1277 Решения задач М1261—М1265; Ф1273—Ф1277 // Квант. — 1991. — № 6. — С. 23—31.

Задача М1261
На плоскости расположено 1991 красных, чёрных и жёлтых точек, никакие три из которых не лежат на одной прямой. Некоторые пары точек соединены отрезками, причём из каждой точки выходит одинаковое число отрезков. Докажите, что найдётся красная точка, которая соединена и с чёрной, и с жёлтой…
Задача М1262
Пусть $d_1$‍,‍ $d_2$‍,‍ $d_3$‍‍ — попарные разности длин сторон треугольника (по абсолютной величине), $P$‍‍ — его периметр. Докажите неравенство $$ d_1d_2+d_2d_3+d_3d_1\le\dfrac{P^2}4. $$
Задача М1263
Внутри окружности лежит ещё две окружности, касающиеся внешней окружности в точках $A$‍‍ и $B$‍‍ соответственно и пересекающиеся между собой. Докажите, что если одна из точек пересечения лежит на отрезке $AB$‍,‍ то сумма радиусов меньших окружностей равна…
Задача М1264
На бесконечном белом листе клетчатой бумаги квадрат $2\times2$‍‍ клетки нужно закрасить в чёрный цвет. Можно ли это сделать несколькими операциями, каждая из которых — перекрашивание в противоположный цвет всех клеток в квадрате $3\times3$‍‍ или $4\times4$‍‍ клетки?
Задача М1265
1. Докажите, что среди 21 попарных расстояний между 7 различными точками плоскости одно и то же число встретится не более 12 раз.
2. Какое наибольшее количество раз может встретиться одно и то же число среди 15 попарных расстояний между 6 различными точками…
Задача Ф1273
Текст задачи готовится
Задача Ф1274
Текст задачи готовится
Задача Ф1275
Текст задачи готовится
Задача Ф1276
Текст задачи готовится
Задача Ф1277
Текст задачи готовится

Метаданные Задачник «Кванта» // Квант. — 1991. — № 6. — С. 22—31.

Заглавие: Задачник «Кванта»
Год: 1991
Номер: 6
Страницы: 22—31
Рубрика: Задачник «Кванта»
Описание: Задачник «Кванта» // Квант. — 1991. — № 6. — С. 22⁠—⁠31.
Ссылка: https://www.kvant.digital/issues/1991/6/zadachnik_kvanta-2bd1b485/
Полный текст: опубликован 05.10.2025

Задачник «Кванта» (1991, № 6)Задачник «Кванта» // Квант. — 1991. — № 6. — С. 22⁠—⁠31.‍‍

Изображения страниц

Текст статьи Задачник «Кванта» // Квант. — 1991. — № 6. — С. 22—31.

Задачи М1286⁠—⁠М1290; Ф1293⁠—⁠Ф1297 Задачи М1286—М1290; Ф1293—Ф1297 // Квант. — 1991. — № 6. — С. 22—23.

Решения задач М1261⁠—⁠М1265; Ф1273⁠—⁠Ф1277 Решения задач М1261—М1265; Ф1273—Ф1277 // Квант. — 1991. — № 6. — С. 23—31.

Метаданные Задачник «Кванта» // Квант. — 1991. — № 6. — С. 22—31.