«Квант» — научно-популярный физико-математический журнал (издаётся с 1970 года)Старый сайт журнала: kvant.ras.ru
Внутри круга радиусом 1990 с центром в начале координат отмечено 555 точек с целыми координатами, никакие три из которых не лежат на одной прямой. Докажите, что найдутся два треугольника равной площади с вершинами в этих точках.
Пусть $a_1$, $a_2$, $\ldots$, $a_n$ — некоторая перестановка из чисел 1, 2, $\ldots$, $n$; $r_k$ — остаток от деления числа $a_1+a_2+\ldots+a_n$ на $n$ ($k=1$, 2, $\ldots$,…
Внутри треугольника $ABC$ взята произвольная точка $X$. Прямые $AX$, $BX$, $CX$ пересекают стороны $BC$, $CA$ и $AB$ в точках $A_1$, $B_1$, $C_1$.…
На плоскости дан треугольник $ABC$. Прямая $p$ параллельна прямой $AB$ и расположена на расстоянии $AC$ от неё так, что внутри полосы, образованной этими двумя прямыми ($p$ и $AB$), нет внутренних точек треугольника…
Докажите, что если последняя цифра десятичной записи числа $m$ равна 5, то $12^m+9^m+8^m+6^m$ делится на 1991.
Имеется 1990 кучек, состоящих соответственно из 1, 2, 3, $\ldots$, 1990 камней. За один шаг разрешается выбросить из любого множества кучек по одинаковому числу камней. За какое наименьшее число шагов можно выбросить все камни?
На двух сторонах $AB$ и $BC$ правильного $2n$-угольника взято по точке $K$ и $N$ так, что угол $KEN$, где $E$ — вершина, противоположная $B$, равен $\dfrac{\pi}{2n}$. Докажите, что…
В сенате, состоящем из 30 сенаторов, каждые двое дружат или враждуют, причём каждый враждует ровно с 6 другими. Найдите общее количество троек сенаторов, в которых либо все три попарно дружат, либо все три враждуют друг с другом.
На плоскости задана точка $O$ и $n$ векторов, сумма которых равна $\overrightarrow{0}$. Докажите, что можно отложить эти векторы, начав в точке $O$, друг за другом в таком порядке, что полученная замкнутая (быть может, самопересекающаяся) ломаная будет…
