Интервью с В. И. АрнольдомИнтервью с В. И. Арнольдом // Квант. — 1990. — № 7. — С. 2‍—‍7, 15.‍‍

— Как вы стали математиком? Какова роль семьи, школы, математических кружков, олимпиад? Расскажите, пожалуйста, о ваших учителях.

— Я всегда ненавидел зубрёжку. Учительница в младших классах говорила поэтому родителям, что такому тупице как я никогда не одолеть таблицу умножения.

Первое математическое потрясение — когда появился настоящий учитель математики, Иван Васильевич Морозкин. Я помню задачу о двух старушках, вышедших одновременно навстречу друг другу, встретившихся в полдень и достигших чужого города — одна в 4 часа пополудни, а другая — в 9. Требовалось узнать, когда они вышли.

Алгебру тогда ещё не учили. Придумав «арифметическое» решение (основанное на соображениях размерности или подобия), я впервые испытал ту радость открытия, стремление к которой и сделало меня математиком.

Первая математическая книжка была «Числа и фигуры» Радемахера и Тёплица, в 12 лет. В день разбирал несколько страниц. Годом позже мой дядя, техник-буровик Н. Б. Житков, за один вечер рассказал мне, что такое математический анализ. Рассказ кончался определением формы поверхности воды во вращающемся стакане. После этого я сам разыскал и прочёл учебник анализа Грэнвиля и Лузина, а затем читал уже без разбора все математические книги в библиотеке рано умершего отца (я — математик в четвёртом поколении). Особенно нравились мне «Введение в анализ бесконечно малых» Эйлера (разбиения, производящие функции) и «Курс анализа» Эрмита (комплексный анализ, эллиптические интегралы).

А. А. Ляпунов организовал у себя дома ДНО («добровольное — или детское? — научное общество»). Математика и физика соседствовали здесь с химией и биологией, включая разгромленную только что генетику (сын одного из наших лучших генетиков учился со мной в одном классе и писал тогда в анкете: «мать — домохозяйка, отец — домохозяин»).

В то время‍ в Университете процветали математические кружки для школьников 7‍—‍10 классов. По воскресеньям профессора читали для школьников лекции (многие из них изданы в серии «Популярные лекции по математике»). К концу школы мы уже имели довольно ясное представление о достоинствах (и недостатках) большинства лекторов. Школьники чувствовали фальшь и обман острее, чем студенты, так как ещё не были приучены делать вид, будто понимают то, чего понять нельзя (нынешние забитые школьники, возможно, утратили это преимущество, да и лекций больше нет).

Руководителями моего кружка были А. П. Савин, Н. Д. Введенская, Т. Д. Вентцель, И. А. Виноградова, известные сейчас математики, все бывшие в то время студентами. Тогдашние кружки давали куда меньше знаний, чем их современные эквиваленты, но зато каждое занятие было праздником. Господствовавший в кружках культ истины, красоты и самостоятельности («ученик — это не мешок, который надо наполнить, а факел, который надо зажечь») ограничивал количество знаний за счёт качества. Именно здесь, в спорах при разборе задач, мы учились полному пониманию и математической строгости. Физика из-за этого отошла в сторону, красота математики её надолго затмила.

Олимпиады, как и кружки и лекции, организовывались тогда Московским математическим обществом и собирали тысячи участников. Мои успехи росли от «похвального отзыва» в 7 классе до второй премии в 9 и в 10. Эмоциональное значение олимпиад было очень велико, но сейчас я больше помню кружки и лекции. До сих пор ценю прекрасно подобранные книги, полученные в виде наград на олимпиадах: «Наглядную геометрию» Гильберта и Кон-Фоссена, «Что такое математика» Куранта и Роббинса, «Введение в теорию линейных пространств» Шилова, «Теоретическую механику» и «Анализ» Валле-Пуссена с длинным прямоугольным штампом «Победителю Московской математической олимпиады».

— Вы активно занимаетесь математикой более 30 лет. Изменилось ли за это время общественное отношение к математике и математикам?

— Отношение общества (не только в СССР) к фундаментальной науке вообще и к математике в частности описано И. А. Крыловым в басне «Свинья под дубом». В тридцатые и сороковые годы математика пострадала у нас меньше других наук. Как известно, Виет был шифровальщиком и дешифровальщиком у французского короля Генриха IV. С тех пор некоторые области математики поощряются всеми правительствами, и даже Берия заботился о сохранении в стране математической культуры.

За последние 30 лет престиж математики в обществе упал во всех странах. Думаю, что в этом виноваты и сами математики (прежде всего Гильберт и ‍‍Бурбаки), провозгласившие целью своей науки исследование всех следствий произвольных систем аксиом.

— Применимо ли к математике понятие моды?

— Развитие математики напоминает быстрое вращение колеса, брызги с которого летят во все стороны. Мода — это струя, уходящая от основной траектории по касательной. Эти струи эпигонских работ всего заметнее, и в них основная часть массы, но они неизбежно погибают через некоторое время, оторвавшись от колеса. Чтобы остаться на колесе, нужно все время прилагать усилия в направлении, перпендикулярном общему потоку.

— Меняются ли со временем критерии строгости математических рассуждений? Имеют ли отношение к «настоящей» теоретической математике компьютерные эксперименты (например, в теории фрактальных множеств — см. «Квант» № 5 за 1989 г.)? Нужен ли математику-исследователю компьютер? Используете ли вы компьютер в своих исследованиях? В последнее время в популярной литературе много говорится о новой математической дисциплине — «теории катастроф». Что это — новая наука или очередной миф?

— Со времён Евклида критерии математической строгости, сколько мне известно, не менялись.

Компьютер даёт огромные возможности для экспериментирования, и я его использую, наряду с логарифмической линейкой и таблицей умножения. Думаю, что без экспериментирования того или иного рода большинство математических результатов не было бы получено. Компьютерные эксперименты добавили кое-что к замечательным работам Жюлиа, Фату и др. об итерациях многочленов. Фрактальные множества — просто термин.

Математику трудно согласиться, что введение нового термина, не подкреплённое новыми теоремами, является существенным прогрессом. Однако успех «кибернетики», «фракталов», «синергетики», «теории катастроф» и «странных аттракторов» показывает плодотворность словотворчества как метода научной работы.

«Трудно поверить, — говорил Пуанкаре, — какую огромную экономию мысли может осуществить одно хорошо подобранное слово. Часто достаточно изобрести одно новое слово, и это слово становится творцом». Оставляя без перевода научные термины («файлы», «интерфейсы»...), мы теряем всю силу этого метода.

Что касается «теории катастроф», то этот термин изобретён для привлечения внимания широкой публики к действительно важным математическим достижениям — к теории особенностей гладких отображений и к ‍‍теории бифуркаций динамических систем. Простейшие выводы теории катастроф (например, что непрерывное движение от плохого установившегося режима к хорошему приводит к ухудшению состояния, что скорость этого ухудшения растёт по мере продвижения к лучшему режиму, что сопротивление системы изменению режима, вначале незначительное, при этом продвижении также возрастает и что в случае преодоления этого сопротивления система скачком переходит в лучшее состояние, а в противном случае — столь же катастрофически быстро возвращается в плохое состояние) — несомненно верны, но, к сожалению, не спасают от катастроф.

— Математика — важная и очень древняя часть человеческой культуры. Каково ваше мнение о её месте среди других культурных ценностей?

— Слово «Математика» означает наука об истине. Мне кажется, современная наука (т. е. теоретическая физика вместе с математикой) является новой религией — культом истины — основанной Ньютоном триста лет назад.

— Когда вы доказываете теорему, вы её «создаёте» или «открываете»?

— Я, безусловно, испытывают ощущение, что открываю нечто, существовавшее и без меня. Словами А. К. Толстого: $$ \begin{array}{l} \text{Тщетно, художник, ты мнишь, что творений своих ты создатель,}\\ \text{Вечно носились они над Землёю, незримые оку...}\\ \text{Много в пространстве невидимых форм и неслышимых звуков,}\\ \text{Много чудесных в нём есть сочетаний и слова и света.} \end{array} $$

— Расскажите, пожалуйста, о ваших математических интересах. Есть ли среди ваших математических результатов такие, которые можно было бы объяснить читателям «Кванта»?

— а) Д. Гильберт говорил, что по-настоящему хороший математический результат всегда можно растолковать «человеку с улицы». Из одного из моих результатов следует принципиальная невозможность долгосрочного динамического прогноза погоды (при сколь угодно мощных компьютерах). Прохожий это, пожалуй, поймёт, но стоящую за этим математику объяснять долго.

б) Представим себе заряженную частицу, движущуюся со скоростью $v$‍‍ в горизонтальной плоскости под действием вертикального магнитного поля $H(x,y)$‍.‍ Если величина поля $H$‍‍ постоянна, то орбита частицы — окружность, радиус которой равен $Cv/H$‍.‍ Предположим теперь, что поле меняется от точки к точке. Тогда каждый виток орбиты будет похож на маленькую окружность, если начальная скорость мала. С точки зрения математики, эта орбита — просто плоская кривая, радиус кривизны которой в каждой точке имеет заранее предписанное значение $Cv/H$‍.‍

Поскольку при переменном радиусе витки, вообще говоря, не замкнуты, возникает медленный «дрейф» центра витка. Хотя за один оборот частица смещается незначительно, в течение многих оборотов дрейф накапливается, и частица может уйти далеко.

Куда именно она уйдёт? Этот вопрос — простейшая модель проблем, встречающихся в разнообразных ситуациях: при исследовании движения заряженных частиц в ускорителях и в магнитных ловушках для удержания плазмы, при анализе влияния возмущений планет друг другом в небесной механике, при изучении устойчивости быстро вращающихся тел в теории гироскопов. В применении к нашей задаче о движении частицы на плоскости результат таков:

Теорема. Орбита вечно остаётся в узком кольце между двумя близкими линиями уровня функции $H$‍,‍ в предположении, что эти линии уровня замкнуты и что радиус $Cv/H$‍‍ достаточно мал.

Читатели, располагающие компьютером, могут проверить это экспериментально. Эксперимент проще провести с дискретным аналогом той же теории. Рассмотрим отображение $T=AB$‍‍ плоскости на себя, где $A$‍‍ — поворот на угол $2\pi/q$‍,‍ а $B(x,y)=(x,y+a\sin x)$‍‍ ($q$‍‍ — целое число, скажем 5, $a$‍‍ — малый параметр, скажем $0{,}05$‍).‍

Теорема. Точки ($P$‍,‍ $T^q P$‍,‍ $T^{2q} P$‍,‍ $\ldots$‍)‍ лежат на гладкой замкнутой кривой для большинства начальных точек $P$‍‍ (если параметр $a$‍‍ достаточно мал).

При «нетипичных» $P$‍‍ траектория постепенно заполняет красивую неограниченную фигуру, которую Г. М. Заславский, Р. З. Сагдеев и их соавторы назвали стохастической паутиной.

Та же математическая теория доказывает и устойчивость колебаний перевёрнутого вверх ногами маятника, «точка подвеса» которого быстро колеблется в вертикальном направлении (речь идёт о нелинейных колебаниях в отсутствие трения). Экспериментальную установку легко сделать на базе вибрационной электробритвы, или электрической швейной машины (П. Л. Капица), или ускорителя с жёсткой фокусировкой (А. М. Будкер).

в) Формула для решения квадратного уравнения читателям хорошо известна. Уравнения степеней и З и 4 также решаются при помощи радикалов. Уравнения степени 5 уже не решаются в радикалах, но все их можно свести к одному специальному уравнению $f^5+xf+1=0$‍.‍ Так что ответ выражается через арифметические операции, корни и одну специальную функцию $f(x)$‍‍ одной переменной $x$‍.‍ Уравнение степени 6 таким же образом сводится к специальной функции двух переменных.

Из функций двух переменных, подставляя одну в другую, можно составить функции любого числа переменных (например, $f(g(x,y), h(z,y))$‍‍ — функция трёх переменных). Д. Гильберт сформулировал свою 13-ю проблему так: какие непрерывные функции трёх переменных могут быть выражены суперпозициями непрерывных функций двух переменных? Гильберт предполагал, что не представляется уже функция $f(x,y,z)$‍,‍ определяемая уравнением $f^7+xf^3+yf^2+zf+1=0$‍.‍

Теорема. Всякая непрерывная функция любого числа переменных представляется суперпозицией непрерывных функций двух переменных.

Представимость функций большего числа переменных суперпозициями функций трёх переменных открыл А. Н. Колмогоров, так что мне оставалось лишь перейти от трёх переменных к двум.

Вопрос о представимости суперпозициями, состоящими из алгебраических функций, остаётся открытым и очень интересен. Ожидается, что «топологическая сложность» ветвления многозначной функции препятствует её представимости.

г) Читатели «Кванта» знают, конечно, как выглядят кривые, заданные уравнением второй степени: эллипсы, гиперболы и параболы. Как могут выглядеть кривые высших степеней — неизвестно никому. Наибольшее число компонент (овалов), из которых может состоять кривая степени $n$‍,‍ равно $$ N=\dfrac{(n-1)(n-2)}{2}+1 $$ (бесконечно удалённые точки учитываются наравне с обычными, так что гипербола, например, состоит из одного овала).

Вопрос о том, каким может быть взаимное расположение этих $N$‍‍ овалов на плоскости, составляет часть 16-й проблемы Гильберта. При $n=4$‍‍ все $N=4$‍‍ овала расположены вне друг друга (почему?). Назовём овалы, находящиеся внутри чётного числа других, чётными, нечётного — нечётными (все четыре овала кривой четвёртой степени чётные).

Теорема. Разность между числом чётных и числом нечётных овалов кривой с максимально возможным при данной степени $n=2k$‍‍ числом овалов сравнима с $k^2$‍‍ по модулю 8.

Пример. Из 11 овалов кривой степени 6 внутри других могут лежать либо один, либо 5, либо 9 (почему?). В частности, все 11 овалов не могут лежать вне друг друга.

История этой теоремы такова. Горьковский математик Д. А. Гудков исследовал все расположения овалов кривой степени 6. Он подметил, что указанное сравнение всегда выполнялось в разобранных им примерах, и высказал гипотезу, что оно выполняется всегда. И. Г. Петровский попросил меня проверить работу Гудкова, технически очень сложную. Гипотеза Гудкова меня поразила, так как никакой связи между расположением овалов и арифметикой видно не было. Но я вспомнил, что теоремы делимости на 8 встречаются в четырёхмерной топологии. Оказалось, что расположением овалов плоской кривой $f(x,y)=0$‍‍ управляет четырёхмерное многообразие, образованное комплексными решениями уравнения $f(x,y)=z^2$‍.‍

Открытие этой связи проблемы овалов с четырёхмерной топологией (а через неё — с арифметикой целочисленных квадратичных форм) позволило доказать гипотезу Гудкова по модулю 4. После этого В. А. Рохлин, ведущий специалист по четырёхмерной топологии, доказал гипотезу Гудкова в полном объёме. С тех пор в вещественной алгебраической геометрии получено много замечательных результатов (о некоторых даже рассказывалось в «Кванте»). Однако, каковы всевозможные расположения двадцати двух овалов кривой степени 8 — все ещё неизвестно.

Конкретные топологические вопросы этого рода (для многочленов фиксированной степени) сводятся в принципе к конечным алгебраическим вычислениям. Но вычисления эти, по-видимому, превосходят возможности современных компьютеров — во всяком случае, до сих пор ни одного нового результата в этой области с помощью компьютеров не получено.

— Вы много занимаетесь популяризацией математики (пользуясь случаем, ещё раз рекомендуем нашим читателям вашу книгу «Гюйгенс и Барроу, Ньютон и Гук». М.: Наука, 1989). Каково ваше мнение о жанре популяризации; назовите, пожалуйста, достоинства и недостатки этого нелёгкого жанра. Читаете ли вы журнал «Квант»? Если да, то выскажите, пожалуйста, мнение о нашем журнале.

— Один из первых популяризаторов — Фарадей — пришёл к выводу, что «популярное никогда не бывает поучительным, а поучительное — популярным». Этот эффект Фарадея легко объясним: как заметил Н. Бор (см. статью Р. Пайерлса в «Кванте» № 10 за 1988 год), ясность и истина квантово дополнительны.

Пытающийся преодолеть эту дополнительность «Квант» заслуживает всяческих похвал, но, к сожалению, несколько эклектичен — математическая и физическая части мало согласованы. Рядом с блестящей статьёй М. П. Бронштейна о рентгеновских лучах многие современные популяризаторы, увы, выглядят беспомощными. Особенно унылы отделы, посвящённые репетиторству и шахматам. Рисункам часто мешает цвет и ненужный, на мой взгляд, отход от традиций энциклопедистов 18 века. Задачи обычно хороши, особенно те, что для младших школьников.

— Многие читатели «Кванта» собираются стать математиками. Существуют ли показания (и противопоказания) к этому, или математиком может быть любой человек, интересующийся предметом? Обязательно ли для будущего математика успешное участие в олимпиадах?

— Рассказывая А. Н. Колмогорову о своём участии в Concours Général (что во Франции примерно соответствует нашим олимпиадам), девяностолетний Адамар всё ещё волновался и негодовал: он оказался тогда лишь вторым, а тот, первый, тоже сделался математиком, но несравненно более слабым.

Некоторые победители олимпиад не делают впоследствии ничего путного, а многие выдающиеся математики вовсе не имели олимпиадных успехов.

Математики сильно различаются своими шкалами времени: некоторые очень хороши в 15-минутных задачах, другие — в часовых, суточных, недельных, требующих месяца размышлений, года, десятилетий... А. Н. Колмогоров считал своим потолком две недели интенсивных размышлений. Олимпиадный успех во многом зависит от скоростных, спринтерских характеристик, в то время как в серьёзной математической деятельности требуется несравненно большая стайерская выносливость («хорошая теоремa, — говорил Б. Н. Делоне — требует не 5, как на олимпиаде, а 5000 часов»).

Противопоказания к тому, чтобы стать творчески работающим математиком, есть. Главное противопоказание — отсутствие любви к математике. Кроме того, как сказал поэт, $$ \begin{array}{l} \text{При каждом деле есть случайный мальчик,}\\ \text{Кому судьба таланта не дала.}\\ \text{И к ним с тупой неласковостью мачех}\\ \text{Относятся любимые дела.} \end{array} $$

Но математические таланты бывают очень разные — геометрически-интуитивные и алгебраически-вычислительные, логически-дедуктивные и индуктивно-естествоиспытательские. И все нужны. Мне кажется, трудности с таблицей умножения или с определением полуплоскости не должны преграждать путь к математике. Важнейшее условие серьёзных занятий математикой — крепкое здоровье.

— Расскажите, пожалуйста, о роли спорта в вашей жизни.

— Когда задача не решается, я становлюсь на лыжи. После сорока километров решение (или хотя бы идея) всегда появляется. При проверке часто обнаруживается ошибка. Но это уже новая трудность, и она преодолевается тем же методом.